Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của 1700

Câu hỏi số 955396:

Vận dụng

Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của 1700 khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên $t \in \lbrack 0; + \infty):$$f'(t) = \left\{ \begin{array}{l} {1700 - 400t,0 \leq t \leq 2} \\ {a{(t - 2)}^{2} + b,t > 2} \end{array} \right.$ (trong đó $f'(t)$ là số khán giả, $t$ là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, a, b là tham số thực), với hàm số $f(t)$ mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian $t$. Sau 2 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là 875. Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:955396

Phương pháp giải

Xác định các tham số a, b dựa trên tính liên tục của $f'(t)$ và dữ kiện tại $t = 2,5$.

Tìm thời điểm khán giả ra về hết ($f'(t) = 0$).

Ứng dụng tích phân để tìm tổng lượng khán giải và chia cho tổng thời gian để tìm giá trị trung bình.

Giải chi tiết

Vì hàm số $f'(t)$ liên tục tại $t = 2$ nên:

$\left. \lim\limits_{t\rightarrow 2^{-}}f'(t) = \lim\limits_{t\rightarrow 2^{+}}f'(t)\Rightarrow 1700 - 400(2) = a{(2 - 2)}^{2} + b\Rightarrow b = 900 \right.$.

Tại $t = 2,5$ (2 giờ 30 phút), ta có:

$\left. f'(2,5) = 875\Rightarrow a{(2,5 - 2)}^{2} + 900 = 875\Rightarrow a = - 100 \right.$.

Vậy với $t > 2$ thì $f'(t) = - 100{(t - 2)}^{2} + 900$.

Khán giả ra về hết thì $f'(t) = 0$.

Xét $t > 2$: $\left. - 100{(t - 2)}^{2} + 900 = 0\Rightarrow{(t - 2)}^{2} = 9\Rightarrow t = 5 \right.$ (giờ).

Tổng số khán giả trong 5 giờ là:

$I = {\int_{0}^{5}f'}(t)dt = {\int_{0}^{2}{(1700 - 400t)dt}} + {\int_{2}^{5}{\left( {- 100{(t - 2)}^{2} + 900} \right)dt}} = 4400$

Trung bình mỗi giờ có số khán giả là $\dfrac{4400}{5} = 880$.

Đáp án cần điền là: 880

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.