Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,,\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 958549:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,,\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho góc \(\widehat {AOB}\) nhọn?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958549

Phương pháp giải

\(\widehat {AOB}\) nhọn \( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right) > 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} > 0\).

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\,\\\, \Leftrightarrow x + 1 = 2{x^2} - 2x + mx - m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\end{array}\).

\(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x + m\) tại hai điểm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - m - 1} \right) > 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 17 > 0\) luôn đúng.

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = - \dfrac{{m + 1}}{2}\\{x_1} + {x_2} = - \dfrac{{m - 3}}{2}\end{array} \right.\)

Đặt \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\)

\(\widehat {AOB}\) nhọn \( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right) > 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {2{x_1} + m} \right)\left( {2{x_2} + m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 5{x_1}{x_2} + 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} > 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.\left( { - \dfrac{{m + 1}}{2}} \right) + 2m\left( { - \dfrac{{m - 3}}{2}} \right) + {m^2} > 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{2}m - \dfrac{5}{2} - {m^2} + 3m + {m^2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{m}{2} - \dfrac{5}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 5\end{array}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {6;7;8;9;10} \right\}\) 5 giá trị.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.