Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $2n - 1$ và $3n + 1$ là các số chính phương và $6n - 13$ là

Câu hỏi số 960627:

Vận dụng

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $2n - 1$ và $3n + 1$ là các số chính phương và $6n - 13$ là số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960627

Phương pháp giải

Đặt các biểu thức chính phương bằng các bình phương của các số nguyên.

Biểu diễn $6n - 13$ theo các bình phương đó và sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Do $6n - 13$ là số nguyên tố nên phân tích được thành tích của 1 và chính nó, từ đó tìm ra các biến phụ và suy ra n.

Giải chi tiết

Ta thấy hiển nhiên $n \geq 3$ vì nếu $n < 3$ thì $6n - 13 < - 1 < 0$ (vô lý do nó là số nguyên tố).

Đặt $2n - 1 = a^{2}$ và $3n + 1 = b^{2}$ với a, b là các số tự nhiên.

Ta có: $6n - 13 = 9(2n - 1) - 4(3n + 1) = 9a^{2} - 4b^{2} = (3a - 2b)(3a + 2b)$.

Mà $6n - 13$ là số nguyên tố và $3a + 2b > 3a - 2b$, $3a + 2b > 1$ nên bắt buộc thừa số nhỏ hơn phải bằng 1. Suy ra $3a - 2b = 1$, hay $b = \dfrac{3a - 1}{2}$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {2n - 1 = a^{2}\text{~(1)}} \\ {3n + 1 = \dfrac{{(3a - 1)}^{2}}{4}\text{~(2)}} \end{array} \right.$.

Từ (1) suy ra $n = \dfrac{a^{2} + 1}{2}$, thay vào (2) ta được:

$3.\dfrac{a^{2} + 1}{2} + 1 = \dfrac{{(3a - 1)}^{2}}{4}$.

Quy đồng và rút gọn: $\left. 6(a^{2} + 1) + 4 = {(3a - 1)}^{2}\Leftrightarrow 6a^{2} + 10 = 9a^{2} - 6a + 1\Leftrightarrow 3a^{2} - 6a - 9 = 0\Leftrightarrow a^{2} - 2a - 3 = 0 \right.$.

Giải phương trình này ta được $a = - 1$ (loại do a là số tự nhiên) hoặc $a = 3$.

Với $a = 3$, suy ra $n = \dfrac{3^{2} + 1}{2} = 5$ (thỏa mãn).

Vậy $n = 5$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link