1. Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$.2. Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 960626:

Vận dụng

1. Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$.

2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\sqrt{x + 1} + \sqrt{y^{2} + 4} + \sqrt{y} = 4} \\ {2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - y + 4\sqrt{y} = 8} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960626

Phương pháp giải

1. Tìm điều kiện xác định. Tách biểu thức trong căn $\sqrt{x^{3} + 1} = \sqrt{(x + 1)(x^{2} - x + 1)}$ và biến đổi phần đa thức bên ngoài để tạo nhân tử chung, đưa về phương trình tích.

2. Tìm điều kiện xác định. Bình phương phương trình (1) rồi trừ đi phương trình (2) để tạo thành một tổng các bình phương bằng 0, từ đó suy ra nghiệm duy nhất của hệ.

Giải chi tiết

Ta có:

$\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$.

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{(x + 1)(x^{2} - x + 1)} + (x^{2} - x + 1) - 2(x + 1) = 0 \right.$.

Đặt $\sqrt{x + 1} = u$ ($u \geq 0$) và $\sqrt{x^{2} - x + 1} = v$ ($v > 0$), phương trình trở thành $\left. uv + v^{2} - 2u^{2} = 0\Leftrightarrow(v - u)(v + 2u) = 0 \right.$. $\left. \Leftrightarrow(\sqrt{x^{2} - x + 1} - \sqrt{x + 1})(\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2\sqrt{x + 1}) = 0 \right.$.

Ta xét hai trường hợp sau:

(a)

$\begin{array}{l} {\sqrt{x^{2} - x + 1} - \sqrt{x + 1} = 0} \\ \left. \Leftrightarrow\sqrt{x^{2} - x + 1} = \sqrt{x + 1} \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - x + 1 = x + 1 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x(x - 2) = 0 \right. \end{array}$

Do đó $x = 2$ (thỏa mãn) hoặc $x = 0$ (thỏa mãn).

(b)$\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2\sqrt{x + 1} = 0$.

Điều này vô lí do $x^{2} - x + 1 = {(x - \dfrac{1}{2})}^{2} + \dfrac{3}{4} > 0$ nên $\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2\sqrt{x + 1} > 0$ với mọi $x \geq - 1$.

Vậy phương trình có tập nghiệm $\left. S = \text{\{}0;2 \right\}$

$\left\{ \begin{array}{l} {\sqrt{x + 1} + \sqrt{y^{2} + 4} = 4 - \sqrt{y}\text{~(1)}} \\ {2\sqrt{(x + 1)(y^{2} + 4)} - y + 4\sqrt{y} = 8\text{~(2)}} \end{array} \right.$.

Từ (1) ta có: ${(\sqrt{x + 1} + \sqrt{y^{2} + 4})}^{2} = {(4 - \sqrt{y})}^{2}$

Từ (2) ta có: $4\sqrt{(x + 1)(y^{2} + 4)} - 2y + 8\sqrt{y} = 16$

Trừ vế cho nhau ta được:

${(\sqrt{x + 1} - \sqrt{y^{2} + 4})}^{2} + y = 0$

Ta thấy $y \geq 0$, ${(\sqrt{x + 1} - \sqrt{y^{2} + 4})}^{2} \geq 0$

$\left. \Rightarrow{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{y^{2} + 4})}^{2} + y \geq 0 \right.$

Dấu "=" xảy ra khi: $\sqrt{x + 1} = \sqrt{y^{2} + 4},y = 0$

Khi đó ta được $(x,) = (3,0)$(Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y) = (3,0)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link