Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định nằm trên đường tròn (O; R). Gọi A, B là các giao
Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định nằm trên đường tròn (O; R). Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn (O; R) và (I; R), P là điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (I; R). Đường thẳng qua P và vuông góc với IP cắt đường tròn (O; R) tại M, N. Kẻ PH vuông góc với IM tại H, PK vuông góc với IN tại K.
1) Chứng minh rằng bốn điểm I, H, P, K cùng thuộc một đường tròn và HK vuông góc với OI.
2) Khi P thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (I; R), tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IHK.
Quảng cáo
1) Dùng tính chất tam giác vuông và trung tuyến ứng với cạnh huyền để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn; dùng biến đổi góc để chứng minh vuông góc.
2) Dùng tính chất phương tích, góc nội tiếp và bất đẳng thức hình học để tìm vị trí diện tích lớn nhất.
1) Gọi $C$ là giao điểm của OI và HK, và $D$ là trung điểm của IP.
Do tam giác IPK vuông tại $K$ và tam giác IPH vuông tại $H$ nên $DK = DP = DI = DH$.
Như vậy bốn điểm P, K, I, H thuộc cùng một đường tròn.
Ta có: $\angle IKH = \dfrac{1}{2}\angle IDH = \angle HPI = \angle PMI = \dfrac{1}{2}\angle NOI$.
Suy ra $\angle CIH + \angle IKH = \dfrac{180^{{^\circ}} - \angle NOI}{2} + \dfrac{1}{2}\angle NOI = 90^{{^\circ}}$.
Vậy HK vuông góc OI tại $C$.
2) Ta gọi giao của PH, PK với $(I,R)$ lần lượt là E, F.
Do tam giác IPE cân tại $I$ có IH vuông góc EP nên $H$ là trung điểm PE.
Giả sử AH cắt $(O,R)$ tại B' thì $HA.HB' = HM.HI = HP^{2} = HP.HE$.
Như vậy tứ giác APB'E nội tiếp. Hay B' thuộc $(I,R)$ nên B' trùng $B$.
Do đó $H$ thuộc AB, tương tự thì $K$ cũng thuộc AB.
Như vậy A, H, K, B thẳng hàng.
Ta có $AO = AI,BO = BI$ nên AB là đường trung trực của OI nên $C$ là trung điểm OI.
Ta có: $S_{HIK} = \dfrac{1}{2}IC.HK = \dfrac{1}{4}.IO.HK \leq \dfrac{R}{4}.IP = \dfrac{R^{2}}{4}$ (do IP là đường kính của đường tròn $(D,DI)$)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $R = IP = HK = \dfrac{1}{2}EF$. Tức là EF là đường kính của $(I,R)$. Hay $P$ trùng với $O$.
Vậy GTLN của $S_{HIK}$ là $\dfrac{R^{2}}{4}$ khi $P$ trùng với $O$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
