1) Nhằm phục vụ khán giả cổ vũ giải bóng đá U23 châu Á, một xưởng may

Câu hỏi số 963080:

Vận dụng

1) Nhằm phục vụ khán giả cổ vũ giải bóng đá U23 châu Á, một xưởng may phải may \(2000\) áo cổ động viên trong một số ngày quy định. Trong ba ngày đầu, mỗi ngày xưởng may đúng số áo theo kế hoạch. Từ ngày thứ tư, nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn \(30\) áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, trước khi hết thời hạn một ngày, xưởng đã may được \(1980\) áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu áo?

2) Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 12 giờ. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi khi làm riêng, mỗi đội hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

3) Cho phương trình \({x^2} + 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{3\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}}{{x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963080

Phương pháp giải

1) Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là \(x\) (chiếc áo) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\), \(x < 2000\))

Tính số áo mỗi ngày xưởng may được trong ba ngày đầu.

Tính số áo mỗi ngày xưởng may được từ ngày thứ tư.

Tính thời gian may hoàn thành theo kế hoạch và trên thực tế.

Tính số áo xưởng may được theo thực tế.

Lập phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi thời gian đội công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ) (\(x > 12\))

Thời gian đội công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ) (\(y > 12\))

Trong một giờ đội công nhân thứ nhất, thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc.

Lập hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

3) Phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\)

Biến đổi \({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

Giải chi tiết

1) Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là \(x\) (chiếc áo) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\), \(x < 2000\))

Khi đó: theo kế hoạch, thời gian xưởng may hoàn thành \(2000\) chiếc áo là \(\dfrac{{2000}}{x}\) (ngày)

Từ ngày thứ tư, mỗi ngày xưởng may được \(x + 30\) (chiếc áo)

Trên thực tế, xưởng may hết trước thời hạn 1 ngày nên thời gian xưởng may là \(\dfrac{{2000}}{x} - 1\) (ngày)

Do 3 ngày đầu, xưởng may đúng số áo theo kế hoạch và từ ngày thứ tư thì xưởng may được mỗi ngày \(x + 30\) (chiếc áo) nên tổng số áo may được là: \(3x + \left( {x + 30} \right).\left( {\dfrac{{2000}}{x} - 1 - 3} \right)\) (áo)

Trên thực tế, xưởng may được \(1980\) chiếc áo nên ta có phương trình:

\(3x + \left( {x + 30} \right).\left( {\dfrac{{2000}}{x} - 1 - 3} \right) = 1980\)

\( \Leftrightarrow 3x + 2000 - x - 3x + \dfrac{{60000}}{x} - 30 - 90 = 1980\)

\( \Leftrightarrow - x - 100 + \dfrac{{60000}}{x} = 0\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} - 100x + 60000 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 100x - 60000 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {50^2} - \left( { - 60000} \right) = 62500 > 0,\sqrt {\Delta '} = 250\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 50 + 250 = 200\left( {tm} \right)\\x = - 50 - 250 = - 300\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may \(200\) chiếc áo.

Gọi thời gian đội công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ) (\(x > 12\))

Thời gian đội công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ) (\(y > 12\))

Trong một giờ:

+ Đội công nhân thứ nhất làm được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)

+ Đội công nhân thứ hai làm được: \(\dfrac{1}{y}\) (công việc)

+ Cả hai đội làm được: \(\dfrac{1}{{12}}\) (công việc)

Do hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 12 giờ nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\) (1)

Do nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ nên ta có phương trình:

\(x - y = 7\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{12}}(*)}\\{y = x - 7}\end{array}} \right.\)

Giải (*):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{12}}\\ \Rightarrow 12\left( {x - 7 + x} \right) = x\left( {x - 7} \right)\\ \Leftrightarrow 24x - 84 = {x^2} - 7x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 31x + 84 = 0\end{array}\)

Phương trình \({x^2} - 31x + 84 = 0\) có hai nghiệm là x = 28 (tm) và x = 3 (ktm)

Với \(x = 28 \Rightarrow y = 28 - 7 = 21\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy thời gian đội công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là \(28\) (giờ)

Thời gian đội công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là \(21\) (giờ)

3) Ta có: \(ac = - 1 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 3}\\{{x_1}.{x_2} = - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài: \(T = \dfrac{{3\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}}{{x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2}} = \dfrac{{3\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}}{{{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}} = \dfrac{{3\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}}{{\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)}} = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

Ta có: \({T^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 13\)

Mà \(T = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 0 \Rightarrow T = \sqrt {13} \).

Vậy \(T = \sqrt {13} \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link