Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}},B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} -

Câu hỏi số 963173:

Vận dụng

Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}},B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2x - 3\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 25$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $C = \dfrac{B}{A}$ là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963173

Phương pháp giải

a) Kiểm tra điều kiện và thay $x = 25$ vào biểu thức $A$ rồi thực hiện tính toán.

b) Phân tích mẫu thức $2x - 3\sqrt{x} - 2$ thành nhân tử, xác định mẫu thức chung, quy đồng các phân thức và rút gọn biểu thức $B$.

c) Thực hiện phép chia $C = \dfrac{B}{A}$ để thu được biểu thức rút gọn. Đánh giá khoảng giá trị của $C$ để tìm các trường hợp $C$ là số nguyên, sau đó giải phương trình tìm $x$ và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

a) Với $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,x \neq 4$), ta thay vào biểu thức $A$:

$A = \dfrac{2\sqrt{25} + 3}{5 \cdot 25 - 10\sqrt{25}}$

$A = \dfrac{2 \cdot 5 + 3}{125 - 10 \cdot 5}$

$A = \dfrac{10 + 3}{125 - 50}$

$A = \dfrac{13}{75}$

Vậy khi $x = 25$ thì giá trị của biểu thức $A$ là $\dfrac{13}{75}$.

b) Với $x > 0,x \neq 4$, ta có:

$B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2x - 3\sqrt{x} - 2}$

$B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2x - 4\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2}$

$B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} - 2)}$

$B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}$

$B = \dfrac{2(2\sqrt{x} + 1) + 3(\sqrt{x} - 2) - (5\sqrt{x} - 7)}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}$

$B = \dfrac{4\sqrt{x} + 2 + 3\sqrt{x} - 6 - 5\sqrt{x} + 7}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}$

$B = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}$

Vậy $B = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}$.

c) Ta có $C = \dfrac{B}{A}$

$C = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)}:\dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}}$

$C = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 1)} \cdot \dfrac{5\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{2\sqrt{x} + 3}$

$C = \dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1}$

Xét $2C = \dfrac{10\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} = \dfrac{5(2\sqrt{x} + 1) - 5}{2\sqrt{x} + 1} = 5 - \dfrac{5}{2\sqrt{x} + 1}$

Vì $\left. x > 0\Rightarrow\sqrt{x} > 0\Rightarrow 2\sqrt{x} + 1 > 1\Rightarrow 0 < \dfrac{5}{2\sqrt{x} + 1} < 5 \right.$

Do đó $5 - 5 < 5 - \dfrac{5}{2\sqrt{x} + 1} < 5 - 0$ hay $0 < 2C < 5$.

Vì biểu thức $C$ nhận giá trị nguyên nên 2C phải là số nguyên chẵn.

Các số nguyên chẵn nằm trong khoảng $(0;5)$ là $2$ và $4$.

Suy ra $2C \in \left\{ 2;4 \right\}$, do đó $C \in \left\{ 1;2 \right\}$.

Trường hợp 1: $\left. C = 1\Rightarrow\dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} = 1 \right.$

$\left. \Rightarrow 5\sqrt{x} = 2\sqrt{x} + 1 \right.$

$\left. \Rightarrow 3\sqrt{x} = 1 \right.$

$\left. \Rightarrow\sqrt{x} = \dfrac{1}{3} \right.$

$\left. \Rightarrow x = \dfrac{1}{9} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,x \neq 4$)

Trường hợp 2: $\left. C = 2\Rightarrow\dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} = 2 \right.$

$\left. \Rightarrow 5\sqrt{x} = 4\sqrt{x} + 2 \right.$

$\left. \Rightarrow\sqrt{x} = 2 \right.$

$\left. \Rightarrow x = 4 \right.$ (không thỏa mãn điều kiện $x \neq 4$, loại)

Vậy $x = \dfrac{1}{9}$ là giá trị cần tìm để biểu thức $C = \dfrac{B}{A}$ là số nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link