Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {6; - 10;3} \right)$, mặt cầu $(S)$ có tâm

Câu hỏi số 963796:

Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {6; - 10;3} \right)$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {0;2; - 3} \right)$, bán kính bằng $2\sqrt{6}$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x + y = 0$

Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$

Hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là điểm $Q\left( {8; - 8;3} \right)$

Khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng 2

Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A$ lớn nhất. Khi đó $MA = 6\sqrt{10}$

Đáp án đúng là: A; B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963796

Phương pháp giải

a) So sánh độ dài IA và bán kính

b) Kiểm tra Q có nằm trên $(\alpha)$ và $\overset{\rightarrow}{AQ}$ với $\overset{\rightarrow}{n}$ có cùng phương?

c) Áp dụng công thức tính khoảng cách

d) Gọi $H$ là tâm đường tròn $(C)$, khi đó $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$

Như vậy $AM$ lớn nhất khi và chỉ khi $QM$ lớn nhất. Khi đó $QM_{\max} = HQ + HM$

Giải chi tiết

a) Đúng. Ta có: $IA = \sqrt{\left( {6 - 0} \right)^{2} + \left( {- 10 - 2} \right)^{2} + \left( {3 + 3} \right)^{2}} = 6\sqrt{6} > R$

Do đó điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$

b) Đúng. Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;0} \right)$

Ta có: $Q \in (\alpha)\,\,(1)$

Mặt khác $\overset{\rightarrow}{AQ} = \left( {2;2;0} \right) = 2\left( {1;1;0} \right)$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;0} \right)\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $Q\left( {8; - 8;3} \right)$

c) Sai. Ta có: $d\left( {I,(\alpha)} \right) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

d) Đúng. Gọi $H$ là tâm đường tròn $(C)$, khi đó $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$

Đường thẳng $IH$ đi qua điểm $I$ và có VTCP là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;0} \right)$ của mặt phẳng $(\alpha)$

Suy ra đường thẳng $IH$ có phương trình $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = 2 + t} \\ {z = - 3} \end{array} \right.\Rightarrow H\left( {t;2 + t; - 3} \right) \right.$

Điểm $\left. H \in (\alpha):\,\, x + y = 0\Leftrightarrow t + 2 + t = 0\Leftrightarrow t = - 2 \right.$

Do đó $H\left( {- 1;1; - 3} \right)$

Ta có: $HQ = \sqrt{\left( {8 + 1} \right)^{2} + \left( {- 8 - 1} \right)^{2} + \left( {3 + 3} \right)^{2}} = 3\sqrt{22} > R = 2\sqrt{6}$

Do đó $Q$ nằm ngoài đường tròn $(C)$

Lại có:

$\begin{array}{l} {AM = \sqrt{AQ^{2} + QM^{2}},} \\ {AQ = \sqrt{\left( {8 - 6} \right)^{2} + \left( {- 8 + 10} \right)^{2} + \left( {3 - 3} \right)^{2}} = 2\sqrt{2},} \\ {HM = \sqrt{R^{2} - IH^{2}} = \sqrt{\left( {2\sqrt{6}} \right)^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt{22}} \end{array}$

Như vậy $AM$ lớn nhất khi và chỉ khi $QM$ lớn nhất

Vì $Q$ nằm ngoài đường tròn $(C)$ nên $QM_{\max} = HQ + HM = 3\sqrt{22} + \sqrt{22} = 4\sqrt{22}$

Khi đó $AM = \sqrt{\left( {2\sqrt{2}} \right)^{2} + \left( {4\sqrt{22}} \right)^{2}} = 6\sqrt{10}$

Đáp án cần chọn là: A; B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.