Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 2, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 2, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = 2. Gọi M là trung điểm của BC. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Xác định mặt phẳng chứa điểm và vuông góc với mặt phẳng cần tính khoảng cách, sau đó kẻ đường cao xuống giao tuyến. Hoặc dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, từ đó chuyển về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Hoặc tìm đoạn vuông góc chung nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau.
1 (Sai). Do $SA\bot(ABC)$ nên $SA\bot AM$.
Vì tam giác ABC đều và M là trung điểm BC nên $AM\bot BC$.
Từ đó suy ra AM chính là đoạn vuông góc chung của SA và BC.
Độ dài đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh 2 là: $AM = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Vậy khoảng cách giữa SA và BC bằng $\sqrt{3}$.
2 (Đúng). Từ A, kẻ $AH\bot SM$ tại $H$.
Ta có $BC\bot AM$ và $BC\bot SA$, suy ra $BC\bot(SAM)$, do đó $BC\bot AH$.
Vì $AH\bot SM$ và $AH\bot BC$ nên $AH\bot(SBC)$.
Vậy khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn AH.
Xét tam giác vuông SAM vuông tại A, có đường cao AH:
$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AM^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{12}$
$\left. \Rightarrow AH^{2} = \dfrac{12}{7}\Rightarrow AH = \dfrac{2\sqrt{21}}{7} \right.$
Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng $\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$.
3 (Sai). Dựng đường thẳng $Bx \parallel AC$.
Khi đó $AC \parallel (SBx)$ nên khoảng cách giữa SB và AC bằng khoảng cách từ đường thẳng AC đến mặt phẳng (SBx), cũng chính bằng khoảng cách từ A đến (SBx).
Kẻ $AK\bot Bx$ tại $K$, kẻ $AP\bot SK$ tại $P$.
Tương tự cách chứng minh ở câu B, ta có $AP\bot(SBx)$.
Khoảng cách cần tìm là AP.
Góc giữa BC và AC là $60^{{^\circ}}$, suy ra góc giữa BC và Bx bằng $60^{{^\circ}}$.
Ta có $AK = AB \cdot \sin(60^{{^\circ}}) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông SAK với đường cao AP:
$\left. \dfrac{1}{AP^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \dfrac{7}{12}\Rightarrow AP = \dfrac{2\sqrt{21}}{7} \right.$
Khoảng cách giữa SB và AC là $\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$.
4 (Sai). Ta có $SA\bot(ABC)$ nên mặt phẳng $(SAB)\bot(ABC)$ theo giao tuyến AB.
Kẻ $CI\bot AB$ tại I (I là trung điểm AB).
Khi đó $CI\bot(SAB)$.
Khoảng cách từ C đến (SAB) chính là đường cao CI của tam giác đều ABC và $CI = \sqrt{3}$.
5 (Sai). Trong mặt phẳng đáy (ABC), qua M kẻ đường thẳng $My \parallel AB$. Khi đó $AB \parallel (SMy)$, suy ra:
$d(AB,SM) = d(AB,(SMy)) = d(A,(SMy))$
Kẻ $AE\bot My$ tại $E$. Kẻ $AF\bot SE$ tại $F$.
Ta có $My\bot AE$ và $\left. My\bot SA\Rightarrow My\bot(SAE)\Rightarrow My\bot AF \right.$.
Kết hợp với $AF\bot SE$, suy ra $AF\bot(SMy)$.
Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn AF.
Tính AE: Vì $My \parallel AB$ và M là trung điểm BC nên khoảng cách từ A đến My bằng một nửa khoảng cách từ C đến AB.
Khoảng cách từ C đến AB (đường cao tam giác đều) là $\sqrt{3}$.
$\left. \Rightarrow AE = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right.$
Xét tam giác vuông SAE vuông tại A, có đường cao AF:
$\dfrac{1}{AF^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AE^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{19}{12}$
$\left. \Rightarrow AF^{2} = \dfrac{12}{19}\Rightarrow AF = \dfrac{2\sqrt{57}}{19} \right.$
Vậy khoảng cách giữa SM và AB bằng $\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
