Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với $(O;R)$ (B

Câu hỏi số 965569:

Vận dụng

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với $(O;R)$ (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC và I là trung điểm của AO.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn và $A{{B}^{2}}=AH.AO$.

b) Vẽ đường kính BD của $(O)$. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh DE là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Cho biết $OA = 10$cm và $R = 5$cm. Tính phần diện tích mặt phẳng giới hạn bởi AB; AC và cung nhỏ BC của $(O)$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965569

Phương pháp giải

a) Dùng tính chất tiếp tuyến để chứng minh tứ giác nội tiếp và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Dùng tam giác đồng dạng để chứng minh $OE \times OK = OD^{2}$ rồi suy ra góc $\angle ODE = 90^{{^\circ}}$.

c) Dùng công thức diện tích tứ giác tạo bởi hai tam giác vuông và trừ đi diện tích hình quạt.

Giải chi tiết

a) Do AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $\angle ABO = \angle ACO = 90^{{^\circ}}$.

Xét tứ giác ABOC có $\angle ABO + \angle ACO = 180^{{^\circ}}$ nên là tứ giác nội tiếp.

Vì $AB = AC$ và $OB = OC$ nên AO là đường trung trực của đoạn BC, do đó $AO\bot BC$ tại $H$.

Xét tam giác ABO vuông tại $B$ có đường cao BH, theo hệ thức lượng ta có: $AB^{2} = AH \times AO$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của OE và AD. Do $OE\bot AD$ nên $\angle EKO = 90^{{^\circ}}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHO$ và $\Delta EKO$ có góc $\angle AOH$ chung nên $\left. \Delta AHO \right.\sim\Delta EKO$ (g.g).

$\left. \Rightarrow\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{OA}{OE}\Rightarrow OK \times OE = OH \times OA \right.$.

Mà trong tam giác vuông ABO, ta có $OH \times OA = OB^{2} = OD^{2}$ (do $OB = OD = R$).

Từ đó $\left. OK \times OE = OD^{2}\Rightarrow\dfrac{OK}{OD} = \dfrac{OD}{OE} \right.$.

Xét $\Delta OKD$ và $\Delta ODE$ có $\angle DOE$ chung và tỉ lệ cạnh trên, ta được $\left. \Delta OKD \right.\sim\Delta ODE$ (c.g.c).

$\left. \Rightarrow\angle ODE = \angle OKD = 90^{{^\circ}} \right.$.

Suy ra $DE\bot OD$ tại $D$ thuộc đường tròn $(O)$, do vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Xét tam giác vuông ABO, ta có $\left. \sin(\angle OAB) = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle OAB = 30^{{^\circ}} \right.$.

Suy ra $\left. \angle AOB = 60^{{^\circ}}\Rightarrow\angle BOC = 120^{{^\circ}} \right.$.

Cạnh $AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = 5\sqrt{3}$ (cm).

Diện tích tứ giác ABOC bằng $2 \times S_{ABO} = AB \times OB = 5\sqrt{3} \times 5 = 25\sqrt{3}$ (cm${}^{2}$).

Diện tích hình quạt OBC chắn cung nhỏ BC là: $S_{q} = \dfrac{\pi R^{2}n}{360} = \dfrac{\pi \times 5^{2} \times 120}{360} = \dfrac{25\pi}{3}$ (cm${}^{2}$).

Diện tích mặt phẳng cần tìm là $S = S_{ABOC} - S_{q} = 25\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{3} \approx 17,1$ (cm${}^{2}$).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link