Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $3a, (a > 0)$. Lấy $AE = a$ trên đoạn AD
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $3a, (a > 0)$. Lấy $AE = a$ trên đoạn AD và $DF = a$ trên đoạn DC. Lấy J là trung điểm của EF. Gọi H là giao điểm của AF và BE. Gọi K là giao điểm của EC và BF.
a) Chứng minh năm điểm E, D, F, K, H cùng nằm trên một đường tròn tâm J. Gọi I là giao điểm của EK và FH. Chứng minh BI vuông góc với EF.
b) Chứng minh $\Delta CEB = \Delta BFA$. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi P là trọng tâm của $\Delta ABD$. Chứng minh ba điểm A, P, O thẳng hàng.
c) Tính diện tích phần hình vuông ABCD nằm ngoài đường tròn (J) theo a.
Quảng cáo
Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác, tính chất trọng tâm, đường phân giác hình vuông và tính diện tích hình viên phân
a) Xét $\Delta CDE$ và $\Delta BCF$ lần lượt vuông tại D và C có $CD = BC$ và $CF = DE$.
Suy ra: $\Delta CDE = \Delta BCF$ (c.g.c).
Mà $\angle DCE + \angle BFC = 90^{{^\circ}}$ hay $\angle EKF = 90^{{^\circ}}$. Tương tự: $\angle EHF = 90^{{^\circ}}$.
Ta có: $\Delta EKF$ và $\Delta EHF$ cùng nội tiếp nửa đường tròn tâm J đường kính EF.
Mà $\Delta EDF$ cũng nội tiếp nửa đường tròn tâm J đường kính EF.
Vậy năm điểm E, D, F, K, H cùng nằm trên một đường tròn tâm J.
Xét $\Delta EBF$ có $EK\bot BF$, $FH\bot BE$ tại I. Suy ra I là trực tâm của $\Delta EBF$.
Suy ra: BI vuông góc với EF.
b) Xét $\Delta CEB$ và $\Delta BFA$ có $CE = BF$, $BC = AB$, $BE = AF$.
Suy ra: $\Delta CEB = \Delta BFA$ (c.c.c)
Ta có: P là trọng tâm của $\Delta ABD$.
Suy ra: $PE \parallel AB,PE = \dfrac{1}{3}AB$ và $PQ \parallel AD,PQ = \dfrac{1}{3}AD$. Mà $AB = CD$.
Do đó: $AE = EP = PQ = QA$ và $\angle A = 90^{{^\circ}}$. Suy ra: Tứ giác AEPQ là hình vuông.
Suy ra: AP là đường phân giác của góc A và AO cũng nằm trên đường phân giác của góc A.
Vậy A, P, O thẳng hàng.
c) Tính diện tích phần hình vuông ABCD nằm ngoài đường tròn (J) là:
$S = S_{ABCD} - S_{\Delta EDF} - \dfrac{1}{2}S_{(J)}$
$= {(3a)}^{2} - \dfrac{1}{2}.a.2a - \dfrac{1}{2}.\pi\left( \dfrac{\sqrt{{(2a)}^{2} + a^{2}}}{2} \right)^{2}$
$= 8a^{2} - \dfrac{5\pi a^{2}}{8}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
