Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật ABCD bên ngoài cổng được bao bởi khung sắt dạng

Câu hỏi số 965765:

Vận dụng

Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật ABCD bên ngoài cổng được bao bởi khung sắt dạng nửa hình tròn tâm O có bán kính 5m (hình 3) tính các kích thước của khung cổng để diện tích ABCD lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965765

Phương pháp giải

Đặt cạnh hình chữ nhật làm ẩn x, thiết lập hàm số biểu diễn diện tích. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của diện tích và suy ra các kích thước.

Giải chi tiết

Gọi O là trung điểm của cạnh AB. Do khung hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O nên O cũng là tâm của nửa đường tròn.

Đặt độ dài $OB = x$ ($0 < x < 5$). Khi đó độ dài chiều rộng khung cổng là $AB = 2x$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBC, ta tính được chiều cao của khung:

$BC = \sqrt{OC^{2} - OB^{2}} = \sqrt{25 - x^{2}}$.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là:

$S = AB.BC = 2x\sqrt{25 - x^{2}}$.

Bình phương biểu thức diện tích chia 4 để áp dụng bất đẳng thức:

$\dfrac{S^{2}}{4} = x^{2}(25 - x^{2})$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $x^{2}$ và $(25 - x^{2})$, ta có:

$x^{2}(25 - x^{2}) \leq \left( \dfrac{x^{2} + 25 - x^{2}}{2} \right)^{2} = \left( \dfrac{25}{2} \right)^{2} = 156,25$.

Suy ra $\left. \dfrac{S^{2}}{4} \leq 156,25\Leftrightarrow S^{2} \leq 625\Leftrightarrow S \leq 25 \right.$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. x^{2} = 25 - x^{2}\Leftrightarrow 2x^{2} = 25\Leftrightarrow x^{2} = 12,5\Rightarrow x = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right.$ (thỏa mãn).

Khi đó, $AB = 2x = 5\sqrt{2}(m)$ và $BC = \sqrt{25 - 12,5} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}(m)$.

Vậy để diện tích lớn nhất thì khung cổng có chiều rộng là $5\sqrt{2}m$ và chiều cao là $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}m$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link