a) Bác An ở vị trí A trên hòn đảo cách bờ biển một khoảng $AH = 2~km$, nhà bác An ở vị trí B

Câu hỏi số 965896:

Vận dụng

a) Bác An ở vị trí A trên hòn đảo cách bờ biển một khoảng $AH = 2~km$, nhà bác An ở vị trí B trên bờ biển cách H một khoảng 3 km. Bác An chèo xuồng từ A đến C với vận tốc $v_{1} = 3~km/h$ (C nằm giữa H và B) và đi bộ đến B với vận tốc $v_{2} = 4~km/h$. Tính độ dài BC biết thời gian chèo xuồng gấp đôi thời gian đi bộ.

b) Từ một tấm tôn hình tròn có bán kính $R = 15~cm$, người ta làm một hình nón bằng cách cắt một phần của hình tròn dạng hình quạt có diện tích bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích hình tròn. Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965896

Phương pháp giải

- Đặt ẩn, áp dụng định lý Pythagore tính các quãng đường, lập phương trình về thời gian.

- Sử dụng các công thức liên quan đến độ dài cung tròn, chu vi đường tròn và thể tích hình nón.

Giải chi tiết

a) Ta đặt $BC = x$, điều kiện $0 < x < 3$.

Khi đó khoảng cách $HC = 3 - x$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC ta có quãng đường chèo xuồng:

$AC = \sqrt{AH^{2} + HC^{2}} = \sqrt{4 + {(3 - x)}^{2}} = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}$.

Thời gian chèo xuồng là: $\dfrac{\sqrt{x^{2} - 6x + 13}}{3}$ (h).

Thời gian đi bộ là: $\dfrac{x}{4}$ (h).

Do thời gian chèo xuồng gấp đôi thời gian đi bộ nên ta có phương trình:

$\dfrac{\sqrt{x^{2} - 6x + 13}}{3} = 2 \cdot \dfrac{x}{4} = \dfrac{x}{2}$

$2\sqrt{x^{2} - 6x + 13} = 3x$

$4(x^{2} - 6x + 13) = 9x^{2}$

$5x^{2} + 24x - 52 = 0$

Giải phương trình ta thu được hai nghiệm: $x = \dfrac{- 12 + 2\sqrt{101}}{5}$ (thỏa mãn) và $x = \dfrac{- 12 - 2\sqrt{101}}{5}$ (loại).

Vậy $BC = \dfrac{- 12 + 2\sqrt{101}}{5}~km$.

b) Gọi h, r, l lần lượt là đường cao, bán kính đáy và đường sinh của hình nón.

Đường sinh của hình nón chính là bán kính tấm tôn $l = R = 15~cm$.

Diện tích hình quạt bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích hình tròn ban đầu nên độ dài cung tròn của hình quạt bằng $\dfrac{1}{3}$ chu vi hình tròn ban đầu. Độ dài cung này lại bằng chu vi đáy hình nón:

$\left. 2\pi r = \dfrac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 15\Leftrightarrow r = 5~cm \right.$.

Chiều cao hình nón là: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{15^{2} - 5^{2}} = 10\sqrt{2}~cm$.

Thể tích khối nón được tạo thành là:

$V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 5^{2} \cdot 10\sqrt{2} = \dfrac{250\pi\sqrt{2}}{3}~cm^{3}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link