Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho $AC > BC$. Kẻ
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho $AC > BC$. Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), HE vuông góc với AC (E thuộc AC) và HF vuông góc với BC (F thuộc BC).
a) Chứng minh CEHF là hình chữ nhật và OC vuông góc với EF.
b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (E nằm giữa M và F). Chứng minh $CM^{2} = CE \cdot CA$.
c) Gọi D là giao điểm của MN và AB, K là giao điểm của CD và đường tròn (O) (K khác C). Chứng minh tam giác EFK là tam giác vuông.
Quảng cáo
Vận dụng các định lý về góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng và tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để chứng minh các đặc tính hình học.
a) Góc $\angle ACB = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác CEHF có $\angle CEH = 90^{{^\circ}}$, $\angle CFH = 90^{{^\circ}}$ và $\angle ECF = 90^{{^\circ}}$ nên CEHF là hình chữ nhật.
Gọi P là giao điểm của EF và CH, Q là giao điểm của OC và EF.
Tứ giác CEHF nội tiếp đường tròn tâm P, đường kính CH nên $\angle CEF = \angle CHF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CF).
Mặt khác $\angle CHF = \angle CBA$ (do cùng phụ với góc $\angle HCB$).
Suy ra $\angle CEF = \angle CBA$.
Lại có tam giác OAC cân tại O nên $\angle CAB = \angle OCA = \angle OCE$.
Ta có: $\angle CEQ + \angle QCE = \angle CBA + \angle CAB = 90^{{^\circ}}$ (vì tam giác ABC vuông tại C).
Suy ra $\angle CQE = 90^{{^\circ}}$, tức là OC vuông góc với EF.
b) Vì $OM = ON$ (bán kính) và $OC\bot MN$ nên OC là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Suy ra $CM = CN$, tam giác CMN cân tại C.
Do đó $\angle CMN = \angle CNM$. Mà $\angle CNM = \angle CAM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CM), nên $\angle CME = \angle CAM$.
Xét $\Delta CME$ và $\Delta CAM$ có: $\angle MCA$ chung và $\angle CME = \angle CAM$.
Suy ra $\left. \Delta CME \right.\sim\Delta CAM$ (g.g).
Ta thu được tỉ số: $\left. \dfrac{CM}{CA} = \dfrac{CE}{CM}\Leftrightarrow CM^{2} = CE \cdot CA \right.$.
c) Ta có $\left. \Delta DBF \right.\sim\Delta DEA$ (g.g) suy ra $DE \cdot DF = DA \cdot DB$.
Mặt khác $\left. \Delta DKA \right.\sim\Delta DBC$ (g.g) suy ra $DK \cdot DC = DA \cdot DB$.
Kết hợp lại ta được: $\left. DE \cdot DF = DK \cdot DC\Rightarrow\dfrac{DK}{DE} = \dfrac{DF}{DC} \right.$.
Xét $\Delta DKF$ và $\Delta DEC$ có góc $\angle CDE$ chung và $\dfrac{DK}{DE} = \dfrac{DF}{DC}$ nên $\left. \Delta DKF \right.\sim\Delta DEC$ (c.g.c).
Suy ra $\angle DKF = \angle DEC$.
Trong tứ giác CKFE có $\angle CEF + \angle CKF = \angle CEF + \angle DKF = 180^{{^\circ}}$ nên CKFE là tứ giác nội tiếp.
Vì tứ giác CEHF là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn đường kính EF.
Do đó K cũng thuộc đường tròn đường kính EF, nên $\angle EKF = 90^{{^\circ}}$.
Vậy tam giác EFK là tam giác vuông.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
