Cho tam giác ABC nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
Cho tam giác ABC nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H .
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của EF và CB. Chứng minh $KE.KF = KB.KC$.
c) Gọi S là điểm đối xứng của A qua O, P là giao điểm của AH và KE, Q là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng QP song song với HS.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới những góc bằng nhau.
b) Chứng minh sự đồng dạng của hai tam giác KBF và KEC để rút ra tỉ lệ cạnh.
c) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng (PAE và QAB; AHE và ASB) để thiết lập tỉ số đoạn thẳng và áp dụng định lí Thales đảo.
a) CF, BE là hai đường cao của tam giác ABC.
Suy ra $\angle BFC = \angle BEC = 90^{{^\circ}}$.
Tam giác BFC vuông tại F nên nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Tam giác BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Xét tam giác KBF và tam giác KEC có:
Góc $\angle EKC$ chung; $\angle KBF = \angle KEC$ (vì BFEC nội tiếp).
Suy ra tam giác KBF đồng dạng tam giác KEC (g.g).
Nên $\dfrac{KB}{KE} = \dfrac{KF}{KC}$.
Suy ra $KE.KF = KB.KC$.
c) Ta có AS là đường kính nên $\angle ABS = 90^{{^\circ}}$.
Ta có $\angle BAD = \angle BCF$ (cùng phụ với $\angle ABC$).
Qua biến đổi góc ta được $\angle PAE = \angle BAQ$.
Xét tam giác PAE và tam giác QAB có:
$\angle PAE = \angle BAQ$; $\angle AEP = \angle ABQ$ (vì tứ giác FECB nội tiếp).
Suy ra tam giác PAE đồng dạng tam giác QAB (g.g).
Suy ra $\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{AE}{AB}$ (1).
Chứng minh tương tự câu a, ta có HDCE là tứ giác nội tiếp.
Nên $\angle AHE = \angle ACB$.
Mà $\angle ACB = \angle ASB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Suy ra $\angle AHE = \angle ASB$.
Xét tam giác AHE và tam giác ASB có:
$\angle AHE = \angle ASB$; $\angle AEH = \angle ABS = 90^{{^\circ}}$.
Suy ra tam giác AHE đồng dạng tam giác ASB (g.g).
Suy ra $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AH}{AS}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{AQ}{AP} = \dfrac{AS}{AH}$.
Suy ra PQ song song với HS (định lí Thales đảo).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
