Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC'

Câu hỏi số 966678:

Thông hiểu

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966678

Phương pháp giải

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của nó trên (P).

Xác định hình chiếu của AC' lên mặt phẳng (ABCD), từ đó xác định góc.

Sử dụng các định lý Pytago và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính \sin của góc.

Giải chi tiết

Giả sử cạnh của hình lập phương là a.

Vì $CC'\bot(ABCD)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của AC' lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa AC' và AC, chính là góc $\widehat{C^{\prime}AC}$.

Xét tam giác vuông C'CA (vuông tại C), ta có:

$CC' = a$

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh a nên $AC = a\sqrt{2}$.

Độ dài đoạn AC' là: $AC' = \sqrt{AC^{2} + C{C'}^{2}} = \sqrt{{(a\sqrt{2})}^{2} + a^{2}} = a\sqrt{3}$.

Giá trị $\sin$ của góc cần tìm là: $\sin(\widehat{C^{\prime}AC}) = \dfrac{CC'}{AC'} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.