Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;5; - 2),B( - 1;3;2)$ và mặt phẳng $(P):2x + y

Câu hỏi số 966707:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;5; - 2),B( - 1;3;2)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 9 = 0$. Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm C. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn OC. Tính $T = M^{2} + m^{2}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 76

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966707

Phương pháp giải

Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P).

Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Tính khoảng cách từ A, B đến (P) chính là các độ dài đoạn HA, HB.

Sử dụng tính chất phương tích của điểm nằm ngoài mặt cầu (đường cát tuyến HAB và tiếp tuyến HC) để tính độ dài HC, suy ra C thuộc một đường tròn cố định trên (P).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P), áp dụng định lý Pytago biểu diễn $OC^{2} = OK^{2} + KC^{2}$. Đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của KC để tìm $M^{2},m^{2}$.

Giải chi tiết

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 4; - 2;4) = - 2(2;1; - 2)$.

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overset{\rightarrow}{n_{P}} = (2;1; - 2)$.

Do $\overset{\rightarrow}{AB}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{n_{P}}$ nên đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A và B lên (P).

Khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng (P) lần lượt là độ dài đoạn HA và HB:

$HA = d(A,(P)) = \dfrac{\left| {2(3) + 5 - 2( - 2) + 9} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = \dfrac{24}{3} = 8$

$HB = d(B,(P)) = \dfrac{\left| {2( - 1) + 3 - 2(2) + 9} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = \dfrac{6}{3} = 2$

Mặt cầu (S) đi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại C, suy ra đường thẳng AB là cát tuyến và đoạn thẳng HC là tiếp tuyến của (S) kẻ từ H.

Theo tính chất phương tích của điểm H đối với mặt cầu (S), ta có:

$\left. HC^{2} = HA \cdot HB = 8 \cdot 2 = 16\Rightarrow HC = 4 \right.$

Do H cố định và $HC = 4$, điểm C luôn thuộc đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P) có tâm H và bán kính $R = 4$.

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua $B( - 1;3;2)$ và có véctơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2;1; - 2)$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1 + 2t} \\ {y = 3 + t} \\ {z = 2 - 2t} \end{array} \right.$

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm H:

$\left. 2( - 1 + 2t) + (3 + t) - 2(2 - 2t) + 9 = 0\Leftrightarrow 9t + 6 = 0\Leftrightarrow t = - \dfrac{2}{3} \right.$

Suy ra $H( - \dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3})$.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của $O(0;0;0)$ lên mặt phẳng $(P)$.

Đường thẳng OK đi qua O và vuông góc với (P) nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2t'} \\ {y = t'} \\ {z = - 2t'} \end{array} \right.$

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm K:

$\left. 2(2t') + t' - 2( - 2t') + 9 = 0\Leftrightarrow 9t' + 9 = 0\Leftrightarrow t' = - 1 \right.$

Suy ra $K( - 2; - 1;2)$. Độ dài đoạn $OK = \sqrt{{( - 2)}^{2} + {( - 1)}^{2} + 2^{2}} = 3$.

Tính khoảng cách KH:

$KH = \sqrt{\left( {- \dfrac{7}{3} + 2} \right)^{2} + \left( {\dfrac{7}{3} + 1} \right)^{2} + \left( {\dfrac{10}{3} - 2} \right)^{2}} = \sqrt{13}$

Trong tam giác vuông OKC (tại K), ta có $OC^{2} = OK^{2} + KC^{2} = 9 + KC^{2}$.

Để OC đạt giá trị lớn nhất (M) và nhỏ nhất (m) thì KC phải đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Vì C thuộc đường tròn $(H;R)$ trong mặt phẳng (P) và K cũng thuộc (P), ta có:

Giá trị lớn nhất của KC là $KC_{max} = KH + R = \sqrt{13} + 4$

Giá trị nhỏ nhất của KC là $KC_{min} = \left| {KH - R} \right| = \left| {\sqrt{13} - 4} \right| = 4 - \sqrt{13}$

Do đó:

$M^{2} = \max(OC^{2}) = 9 + {(\sqrt{13} + 4)}^{2} = 38 + 8\sqrt{13}$

$m^{2} = \min(OC^{2}) = 9 + {(4 - \sqrt{13})}^{2} = 38 - 8\sqrt{13}$

Vậy $T = M^{2} + m^{2} = (38 + 8\sqrt{13}) + (38 - 8\sqrt{13}) = 76$.

Đáp án cần điền là: 76

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.