Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp với đơn vị trên mỗi trục là mét, một

Câu hỏi số 966706:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp với đơn vị trên mỗi trục là mét, một nhà sinh vật học muốn theo dõi hai tổ chim ở các vị trí $A(2;2;0)$, $B(2;0; - 2)$, anh ta đã leo lên mái nhà thuộc mặt phẳng $(P):x + 2y - z - 1 = 0$. Nhà sinh vật học muốn đặt một thiết bị theo dõi ở vị trí $M(a;b;c)$ thuộc mái nhà cách đều các tổ chim, đồng thời vị trí đó cho anh một góc quan sát là lớn nhất đối với hai tổ chim nói trên (góc $\widehat{AMB}$ lớn nhất). Khi đó tổng $a + b + c$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,27

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966706

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng trung trực (Q) của đoạn thẳng AB.

Do M cách đều A và B nên M thuộc (Q). Kết hợp M thuộc (P), ta suy ra M nằm trên đường thẳng giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t của đường thẳng $\Delta$.

Góc quan sát $\widehat{AMB}$ lớn nhất khi $\sin\left( \dfrac{\widehat{AMB}}{2} \right)$ lớn nhất, tương đương với việc khoảng cách MI (với I là trung điểm của AB) đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm tham số t để $MI^{2}$ nhỏ nhất, từ đó suy ra tọa độ M, tính các giá trị a, b, c và tính tổng theo yêu cầu.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta có tọa độ $\left. I\left( {\dfrac{2 + 2}{2};\dfrac{2 + 0}{2};\dfrac{0 - 2}{2}} \right)\Rightarrow I(2;1; - 1) \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (0; - 2; - 2)$.

Mặt phẳng trung trực (Q) của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I và nhận $\overset{\rightarrow}{n} = (0;1;1)$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $\left. 0(x - 2) + 1(y - 1) + 1(z + 1) = 0\Leftrightarrow y + z = 0 \right.$.

Do thiết bị đặt ở vị trí $M(a;b;c)$ cách đều hai tổ chim nên M thuộc mặt phẳng trung trực (Q).

Đồng thời M thuộc mặt phẳng mái nhà $(P):x + 2y - z - 1 = 0$.

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x + 2y - z - 1 = 0} \\ {y + z = 0} \end{array} \right.$

Đặt $z = t$, suy ra $y = - t$.

Thay vào phương trình đầu ta được: $\left. x + 2( - t) - t - 1 = 0\Leftrightarrow x = 1 + 3t \right.$.

Do đó, M nằm trên đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 3t} \\ {y = - t} \\ {z = t} \end{array} \right.\Rightarrow M(1 + 3t; - t;t) \right.$.

Xét tam giác AMB cân tại M, gọi $\alpha = \widehat{AMB}$ là góc quan sát.

Đường trung tuyến MI đồng thời là đường cao, ta có: $\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{IA}{MA}$.

Vì $\alpha \in (0^{{^\circ}};180^{{^\circ}})$ nên góc $\alpha$ lớn nhất khi và chỉ khi $\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ lớn nhất.

Độ dài IA không đổi, do đó độ dài đoạn thẳng MA phải nhỏ nhất.

Lại có $MA^{2} = MI^{2} + IA^{2}$, nên MA nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất.

Ta có $\overset{\rightarrow}{IM} = (3t - 1; - t - 1;t + 1)$.

$MI^{2} = {(3t - 1)}^{2} + {( - t - 1)}^{2} + {(t + 1)}^{2} = 9t^{2} - 6t + 1 + t^{2} + 2t + 1 + t^{2} + 2t + 1 = 11t^{2} - 2t + 3$.

Biểu thức $f(t) = 11t^{2} - 2t + 3$ là một tam thức bậc hai đối với $t$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = - \dfrac{- 2}{2 \cdot 11} = \dfrac{1}{11}$.

Thay $t = \dfrac{1}{11}$ vào tọa độ M, ta được $M\left( {\dfrac{14}{11}; - \dfrac{1}{11};\dfrac{1}{11}} \right)$.

Từ đây ta có $a = \dfrac{14}{11}$, $b = - \dfrac{1}{11}$, $c = \dfrac{1}{11}$.

Tổng $a + b + c = \dfrac{14}{11} + \left( {- \dfrac{1}{11}} \right) + \dfrac{1}{11} = \dfrac{14}{11} \approx 1,27$.

Đáp án cần điền là: 1,27

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.