Cho hàm số $f(x) = 2\cos x - 1$. Biết ${\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left\lbrack {f(x) + \tan^{2}x}

Câu hỏi số 968445:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = 2\cos x - 1$. Biết ${\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left\lbrack {f(x) + \tan^{2}x} \right\rbrack}dx = a\sqrt{2} + b + c\pi$. Tính $T = a + b + c$.

A. 3.

B. $- \dfrac{1}{2}$.

C. $\dfrac{3}{2}$.

D. $- 1$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968445

Phương pháp giải

Thay $f(x)$ vào biểu thức dưới dấu tích phân.

Sử dụng công thức lượng giác $\tan^{2}x = \dfrac{1}{\cos^{2}x} - 1$ để biến đổi.

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân, sau đó đồng nhất hệ số tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Xét tích phân $I = {\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left\lbrack {2\cos x - 1 + \tan^{2}x} \right\rbrack}dx$.

Ta có: $2\cos x - 1 + \tan^{2}x = 2\cos x - 1 + \dfrac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 2\cos x - 2 + \dfrac{1}{\cos^{2}x}$.

Do đó: $I = {\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left( {2\cos x - 2 + \dfrac{1}{\cos^{2}x}} \right)}dx$.

Tìm nguyên hàm: ${\int\left( {2\cos x - 2 + \dfrac{1}{\cos^{2}x}} \right)}dx = 2\sin x - 2x + \tan x + C$.

Tính tích phân:

$I = (2\sin x - 2x + \tan x)|_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} = \left( {2\sin\dfrac{\pi}{4} - 2\dfrac{\pi}{4} + \tan\dfrac{\pi}{4}} \right) - (2\sin 0 - 2 \cdot 0 + \tan 0)$

$I = \left( {2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\pi}{2} + 1} \right) - 0 = \sqrt{2} + 1 - \dfrac{1}{2}\pi$.

Theo đề bài, $I = a\sqrt{2} + b + c\pi$.

Đồng nhất các hệ số, ta có: $a = 1,b = 1,c = - \dfrac{1}{2}$.

Vậy $T = a + b + c = 1 + 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.