Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Hình vẽ bên cho biết miền $M$ (được tô đậm) nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 4. Miền

Hình vẽ bên cho biết miền $M$ (được tô đậm) nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 4. Miền $M$ này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh hình vuông.

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Các đường biên của miền $M$ có dạng

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:968460
Phương pháp giải

Thiết lập hệ trục tọa độ vuông góc, gọi $O(0;0)$ là tâm hình vuông. Biểu diễn điều kiện khoảng cách từ một điểm $P(x;y)$ thuộc miền $M$ đến tâm nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách đến cạnh tương ứng để tìm phương trình của đường biên.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ $O$ trùng với tâm hình vuông, các trục tọa độ song song với các cạnh của hình vuông.

Vì hình vuông có cạnh bằng 4 và tâm tại $O(0;0)$ nên các cạnh của hình vuông nằm trên các đường thẳng có phương trình là $x = - 2,x = 2,y = - 2,y = 2$.

Xét điểm $P(x;y)$ bất kì thuộc miền $M$.

Khoảng cách từ $P$ đến tâm $O$ là $d(P,O) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Khoảng cách từ $P$ đến cạnh gần nhất của hình vuông là $2 - \max\left( {|x|,|y|} \right)$.

Do tính đối xứng của hình vuông, ta chỉ cần xét phần miền nằm trong một khu vực, cụ thể là phần giới hạn bởi $x \geq y \geq 0$ và $x \geq - y$.

Trong vùng này, cạnh hình vuông gần điểm $P$ nhất là cạnh $x = 2$.

Khoảng cách từ $P$ đến cạnh $x = 2$ là 2 – x.

Theo giả thiết bài toán, ta có bất phương trình:

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq 2 - x$

$x^{2} + y^{2} \leq {(2 - x)}^{2}$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 4 - 4x + x^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow y^{2} \leq - 4(x - 1) \right.$.

Đường biên ngoài cùng của phần miền này chính là khi dấu bằng xảy ra: $y^{2} = - 4(x - 1)$.

Đây chính là phương trình của một Parabol.

Do tính đối xứng qua tâm và qua các đường chéo của hình vuông, toàn bộ đường biên của miền $M$ sẽ được tạo thành từ 4 cung Parabol bằng nhau khép kín.

Vậy các đường biên của miền $M$ có dạng Parabol.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Tính diện tích miền $M$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:968461
Phương pháp giải

Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol đã xác định được ở Câu 29. Lợi dụng tính đối xứng để chia nhỏ diện tích cần tính.

Giải chi tiết

Xét một phần tư của miền M nằm ở góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy (tức là $x \geq 0,y \geq 0$). Vùng này được giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường parabol biên.

Biên phía trên gần cạnh $y = 2$ có phương trình là $\left. x^{2} = - 4(y - 1)\Leftrightarrow y = 1 - \dfrac{x^{2}}{4} \right.$.

Biên phía bên phải gần cạnh $x = 2$ có phương trình là $\left. y^{2} = - 4(x - 1)\Leftrightarrow x = 1 - \dfrac{y^{2}}{4} \right.$, hay với $y \geq 0$ ta có $y = \sqrt{4 - 4x} = 2\sqrt{1 - x}$.

Giao điểm của hai đường parabol này nằm trên đường phân giác $y = x$.

Giải phương trình hoành độ giao điểm: $\left. x = 1 - \dfrac{x^{2}}{4}\Leftrightarrow x^{2} + 4x - 4 = 0 \right.$.

Lấy nghiệm dương, ta được $x = 2\sqrt{2} - 2$.

Đường biên trên của một phần tư miền $M$ là đường gấp khúc liên tục tạo bởi hai hàm số $y = 1 - \dfrac{x^{2}}{4}$ (trên đoạn $x \in \lbrack 0;a\rbrack$) và $y = 2\sqrt{1 - x}$ (trên đoạn $x \in \lbrack a;1\rbrack$)

Diện tích của một phần tư miền $M$ ký hiệu là $S_{1}$ được tính bằng tích phân:

$S_{1} = {\int_{0}^{2\sqrt{2} - 2}\left( {1 - \dfrac{x^{2}}{4}} \right)}dx + {\int_{2\sqrt{2} - 2}^{1}2}\sqrt{1 - x}dx \approx 0,8758$

Toàn bộ miền $M$ có tính đối xứng nên tổng diện tích là $S = 4S_{1} = 4 \cdot 0,8758 \approx 3,5$.

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn