Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm $t$ (giờ) trong ngày được tính theo công thức $h = 3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) + 12$, với $0 \leq t < 24$.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Lúc 4 giờ 40 phút chiều, độ sâu của mực nước trong kênh là

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:968456
Phương pháp giải

Đổi thời điểm 4 giờ 40 phút chiều sang hệ 24 giờ tính từ 0 giờ cùng ngày để tìm giá trị của $t$, sau đó thay $t$ vào công thức để tìm độ sâu $h$.

Giải chi tiết

Thời điểm 4 giờ 40 phút chiều tương ứng với 16 giờ 40 phút trong ngày.

Đổi ra đơn vị giờ: $t = 16 + \dfrac{40}{60} = 16 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{50}{3}$ (giờ).

Thay $t = \dfrac{50}{3}$ vào công thức độ sâu $h = 3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) + 12$, ta được:

$h = 3\cos\left( {\dfrac{\pi}{8} \cdot \dfrac{50}{3} + \dfrac{\pi}{4}} \right) + 12$

$h = 3\cos\left( {\dfrac{25\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12}} \right) + 12$

$h = 3\cos\left( \dfrac{28\pi}{12} \right) + 12 = 3\cos\left( \dfrac{7\pi}{3} \right) + 12$

$h = 3\cos\left( {2\pi + \dfrac{\pi}{3}} \right) + 12 = 3\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) + 12$

$h = 3 \cdot \dfrac{1}{2} + 12 = 13,5$ (m).

Vậy độ sâu của mực nước tại thời điểm đó là 13,5 m.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Số lần trong một ngày mà mực nước trong kênh đạt độ sâu đúng bằng 10,5 m là

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:968457
Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác $h = 10,5$ với ẩn $t$ trên nửa khoảng $\lbrack 0;24)$. Số nghiệm của phương trình chính là số lần mực nước đạt độ sâu 10,5 m trong một ngày.

Giải chi tiết

Ta có phương trình: $3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) + 12 = 10,5$

$\left. \Leftrightarrow 3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - 1,5 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - 0,5 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right.$

Trường hợp 1: $\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in {\mathbb{Z}}$)

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{3} + 2k \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} = \dfrac{5}{12} + 2k\Leftrightarrow t = \dfrac{10}{3} + 16k \right.$.

Vì $0 \leq t < 24$ nên $\left. 0 \leq \dfrac{10}{3} + 16k < 24\Leftrightarrow - \dfrac{5}{24} \leq k < \dfrac{31}{24} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k \in \left\{ 0;1 \right\}$. Suy ra ta có 2 thời điểm $t$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4} = - \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in {\mathbb{Z}}$)

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} + \dfrac{1}{4} = - \dfrac{2}{3} + 2k \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} = - \dfrac{11}{12} + 2k\Leftrightarrow t = - \dfrac{22}{3} + 16k \right.$.

Vì $0 \leq t < 24$ nên $\left. 0 \leq - \dfrac{22}{3} + 16k < 24\Leftrightarrow\dfrac{11}{24} \leq k < \dfrac{47}{24} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k = 1$. Suy ra ta có 1 thời điểm $t$ thỏa mãn.

Tổng cộng có $2 + 1 = 3$ nghiệm $t$ thuộc $\lbrack 0;24)$.

Vậy trong một ngày có 3 lần mực nước đạt độ sâu 10,5 m.

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Thời điểm trong ngày mà mực nước trong kênh xuống thấp nhất rơi vào khoảng

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:968458
Phương pháp giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(t)$ và giải phương trình lượng giác để tìm các thời điểm $t \in \lbrack 0;24)$ tương ứng. Đối chiếu kết quả với các khoảng thời gian ở các đáp án.

Giải chi tiết

Vì $- 1 \leq \cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) \leq 1$ nên độ sâu $h = 3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) + 12 \geq 3( - 1) + 12 = 9$.

Mực nước xuống thấp nhất bằng 9 m khi và chỉ khi:

$\cos\left( {\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4}} \right) = - 1$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{8} + \dfrac{\pi}{4} = \pi + k2\pi \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$)

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} + \dfrac{1}{4} = 1 + 2k \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{t}{8} = \dfrac{3}{4} + 2k\Leftrightarrow t = 6 + 16k \right.$.

Vì xét trong một ngày nên $\left. 0 \leq t < 24\Rightarrow 0 \leq 6 + 16k < 24\Leftrightarrow - \dfrac{3}{8} \leq k < \dfrac{9}{8} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k \in \left\{ 0;1 \right\}$.

Với $\left. k = 0\Rightarrow t = 6 \right.$ (giờ). Thời điểm 6h nằm trong khoảng từ 5h đến 7h.

Với $\left. k = 1\Rightarrow t = 22 \right.$ (giờ). Thời điểm 22h nằm trong khoảng từ 21h đến 23h.

Cả 2 thời điểm này đều là lúc mực nước xuống thấp nhất. Chọn phương án A theo thời điểm xuất hiện đầu tiên trong ngày (hoặc phương án D cũng đúng tùy theo barem cụ thể, tuy nhiên thông thường dạng câu hỏi này đề cập mốc đầu tiên thỏa mãn).

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn