Trong không gian Oxyz, cho hình thang ABCD vuông tại $A$ và $B$, có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Tọa độ

Câu hỏi số 968463:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hình thang ABCD vuông tại $A$ và $B$, có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;m;0)$. Biết $D(a;b;c)$, tính $T = a + b + c + m$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968463

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hình thang vuông $\overset{\rightarrow}{AB}\bot\overset{\rightarrow}{AD}$ và $\overset{\rightarrow}{AB}\bot\overset{\rightarrow}{BC}$, cùng công thức diện tích hình thang $S = \dfrac{(AB + CD).h}{2}$ với $h = AB$.

Giải chi tiết

$\left. A(1;2;1),B(2;0; - 1)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 2; - 2)\Rightarrow AB = \sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + {( - 2)}^{2}} = 3 \right.$.

Vì ABCD là hình thang vuông tại A, B nên $AD\bot AB$ và $BC\bot AB$.

$\left. C(6;m;0)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{BC} = (4;m;1) \right.$.

$\begin{array}{l} \left. \overset{\rightarrow}{BC}\bot\overset{\rightarrow}{AB}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{BC}.\overset{\rightarrow}{AB} = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow 1(4) - 2(m) - 2(1) = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow 4 - 2m - 2 = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow 2m = 2\Rightarrow m = 1 \right. \end{array}$.

$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}(AD + BC) \cdot AB$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 6\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}(AD + 3\sqrt{2}) \cdot 3 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 4\sqrt{2} = AD + 3\sqrt{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow AD = \sqrt{2} \right. \end{array}$

Vì AD và BC là hai đáy của hình thang nên $\overset{\rightarrow}{AD}$ và $\overset{\rightarrow}{BC}$ cùng hướng.

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AD} = \dfrac{AD}{BC}\overset{\rightarrow}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\overset{\rightarrow}{BC} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{BC} \right.$

$\overset{\rightarrow}{AD} = \dfrac{1}{3}(4;1;1) = \left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Gọi $D(a;b;c)$, ta có $\overset{\rightarrow}{AD} = (a - 1;b - 2;c - 1)$.

Từ đó, ta có hệ phương trình: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a - 1 = \dfrac{4}{3}} \\ {b - 2 = \dfrac{1}{3}} \\ {c - 1 = \dfrac{1}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{7}{3}} \\ {b = \dfrac{7}{3}} \\ {c = \dfrac{4}{3}} \end{array} \right. \right.$

Vậy tọa độ điểm D là $D\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$.

$T = a + b + c + m = \dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3} + 1 = 7$

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.