Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 4 = 0$.

Câu hỏi số 968471:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 4 = 0$. Gọi $(P),(Q)$ là hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và đồng thời tiếp xúc với $(S)$, gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ lên $d$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OKI (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2,45

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968471

Phương pháp giải

Phân tích tính chất hình học không gian để tìm tập hợp điểm K. Sử dụng công thức diện tích tam giác cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có phương trình viết lại là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$.

Tâm $I(1; - 2;1)$, bán kính $R = \sqrt{2}$.

Khoảng cách $OI = \sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$.

Vì $(P),(Q)$ là hai mặt phẳng cùng tiếp xúc với $(S)$ và vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$, nên khoảng cách từ tâm $I$ đến giao tuyến $d$ chính là độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng bán kính $R$.

Do đó, $IK = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2$.

Điều này cho thấy điểm $K$ luôn cách $I$ một khoảng không đổi bằng $2$.

Xét tam giác OKI có hai cạnh không đổi là $OI = \sqrt{6}$ và $IK = 2$.

Diện tích tam giác OKI là $S_{\Delta OKI} = \dfrac{1}{2} \cdot OI \cdot IK \cdot \sin(\widehat{OIK}) = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 2 \cdot \sin(\widehat{OIK}) = \sqrt{6}\sin(\widehat{OIK})$.

Vì $\sin(\widehat{OIK}) \leq 1$, nên $S_{\Delta OKI} \leq \sqrt{6}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\widehat{OIK} = 90^{{^\circ}}$.

Vì $K$ có thể xoay tự do quanh $I$ trên mặt cầu tâm $I$ bán kính $2$ (phụ thuộc vào phương của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$) nên góc này hoàn toàn có thể đạt được góc vuông.

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OKI là $\sqrt{6} = 2,45$.

Đáp án cần điền là: 2,45

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.