Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 3z - 4 = 0$ và hai đường thẳng

Câu hỏi số 968470:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 3z - 4 = 0$ và hai đường thẳng là $d_{1}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{- 1} = \dfrac{z + 1}{2}$ và $d_{2}:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{z + 1}{1}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với (P) và cắt $d_{1},d_{2}$ theo thứ tự tại M, N sao cho $MN = \sqrt{3}$. Biết $(\alpha)$ có phương trình là $x + by + cz + d = 0$. Tính $T = b - c + 2d$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 17

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968470

Phương pháp giải

Dùng điều kiện song song để xác định dạng phương trình mặt phẳng. Tham số hóa giao điểm, kết hợp độ dài đoạn thẳng và tính chất vectơ vuông góc để tìm ẩn tham số.

Giải chi tiết

Vì $(\alpha)$ song song với $(P):x - 2y + 3z - 4 = 0$ nên phương trình $(\alpha)$ có dạng $x - 2y + 3z + d' = 0$ ($d' \neq - 4$).

Đối chiếu phương trình $x + by + cz + d = 0$, ta suy ra $b = - 2,c = 3$ và $d' = d$.

Chuyển $d_{1},d_{2}$ về phương trình tham số, ta có:

$\left. M \in d_{1}\Rightarrow M(1 + u; - u; - 1 + 2u) \right.$; $\left. N \in d_{2}\Rightarrow N(1 + 2v;3 + v; - 1 + v) \right.$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{MN} = (2v - u;3 + v + u;v - 2u)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (1; - 2;3)$.

Do $M,N \in (\alpha)$ và $(\alpha) \parallel (P)$ nên đường thẳng MN nằm trong $(\alpha)$, dẫn đến $\left. \overset{\rightarrow}{MN}\bot{\overset{\rightarrow}{n}}_{P}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MN} \cdot {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = 0 \right.$.

$1(2v - u) - 2(3 + v + u) + 3(v - 2u) = 0$

$\left. \Rightarrow 2v - u - 6 - 2v - 2u + 3v - 6u = 0\Rightarrow 3v - 9u - 6 = 0\Rightarrow v = 3u + 2 \right.$.

Thay $v$ vào $\overset{\rightarrow}{MN}$ ta được: $\overset{\rightarrow}{MN} = (5u + 4;4u + 5;u + 2)$.

Độ dài $\left. MN = \sqrt{3}\Rightarrow MN^{2} = 3 \right.$:

${(5u + 4)}^{2} + {(4u + 5)}^{2} + {(u + 2)}^{2} = 3$

$25u^{2} + 40u + 16 + 16u^{2} + 40u + 25 + u^{2} + 4u + 4 = 3$

$\left. 42u^{2} + 84u + 45 = 3\Rightarrow 42u^{2} + 84u + 42 = 0\Rightarrow{(u + 1)}^{2} = 0\Rightarrow u = - 1 \right.$.

Với $u = - 1$, tọa độ $M(0;1; - 3)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ nên: $\left. 0 - 2(1) + 3( - 3) + d = 0\Rightarrow d = 11 \right.$ (thỏa mãn $d \neq - 4$).

Ta có $b = - 2,c = 3,d = 11$.

Giá trị $T = b - c + 2d = - 2 - 3 + 2.11 = 17$.

Đáp án cần điền là: 17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.