Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: $(P):x - 2y + z - 1 = 0$, $(Q):x - 2y + z +

Câu hỏi số 968796:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: $(P):x - 2y + z - 1 = 0$, $(Q):x - 2y + z + 8 = 0$, $(R):x - 2y + z - 4 = 0$. Một đường thẳng $d$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \dfrac{144}{AC}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 108

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968796

Phương pháp giải

Nhận xét ba mặt phẳng song song với nhau. Sử dụng định lý Thales trong không gian để tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng AB và AC thông qua khoảng cách giữa các mặt phẳng. Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Dễ thấy ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ song song với nhau.

Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ là: $d_{1} = \dfrac{\left| 8 - ( - 1) \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{9}{\sqrt{6}}$.

Khoảng cách giữa $(P)$ và $(R)$ là: $d_{2} = \dfrac{\left| - 4 - ( - 1) \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{6}}$.

Vì đường thẳng $d$ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại A, B, C nên theo định lý Thales trong không gian, tỉ số độ dài các đoạn thẳng tạo bởi các giao điểm bằng tỉ số khoảng cách giữa các mặt phẳng tương ứng.

Ta có: $\left. \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{d_{1}}{d_{2}} = \dfrac{9/\sqrt{6}}{3/\sqrt{6}} = 3\Rightarrow AB = 3AC \right.$.

Thay vào biểu thức $T$, ta được:

$T = {(3AC)}^{2} + \dfrac{144}{AC} = 9AC^{2} + \dfrac{144}{AC}$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta có:

$T = 9AC^{2} + \dfrac{72}{AC} + \dfrac{72}{AC} \geq 3\sqrt[3]{9AC^{2}.\dfrac{72}{AC}.\dfrac{72}{AC}} = 3\sqrt[3]{9.72^{2}} = 3\sqrt[3]{46656} = 3.36 = 108$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. 9AC^{2} = \dfrac{72}{AC}\Leftrightarrow AC^{3} = 8\Leftrightarrow AC = 2 \right.$.

Mặt khác, nếu gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d$ và pháp tuyến của các mặt phẳng thì $AC = \dfrac{d_{2}}{\left| \cos\varphi \right|} = \dfrac{3}{\left. \sqrt{6} \middle| \cos\varphi \right|}$.

Với $AC = 2$, ta có $\left| \cos\varphi \middle| = \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} < 1 \right.$, nên tồn tại đường thẳng $d$ thỏa mãn.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là 108.

Đáp án cần điền là: 108

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.