Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(0;3; - 5),B(1;1; - 5),C(4;3; - 1)$ và mặt cầu $(S_{m}):x^{2} + y^{2} +

Câu hỏi số 968795:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(0;3; - 5),B(1;1; - 5),C(4;3; - 1)$ và mặt cầu $(S_{m}):x^{2} + y^{2} + z^{2} + (m - 2)x + 4y + (m - 2)z - 3 = 0$ ($m$ là tham số thực). Gọi $(T)$ là tập hợp tất cả điểm cố định mà mặt cầu $(S_{m})$ luôn đi qua với mọi số thực $m$ và $M$ là một điểm di động trên $(T)$ sao cho thể tích tứ diện MABC đạt giá trị lớn nhất $V_{\max}$. Tính giá trị lớn nhất $V_{\max}$ đó (làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 15,3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968795

Phương pháp giải

Tìm tập hợp các điểm cố định mà mặt cầu luôn đi qua. Lập phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và tính diện tích tam giác ABC. Thể tích tứ diện MABC lớn nhất khi khoảng cách từ $M$ đến $(ABC)$ lớn nhất. Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để tìm giá trị lớn nhất này.

Giải chi tiết

Phương trình mặt cầu $(S_{m})$ có thể viết lại thành:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z - 3 + m(x + z) = 0$.

Để mặt cầu đi qua điểm $M(x;y;z)$ với mọi $m$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l} {x + z = 0} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0} \end{array} \right.$

Thay $z = - x$ vào phương trình dưới, ta được:

$\left. x^{2} + y^{2} + {( - x)}^{2} - 2x + 4y - 2( - x) - 3 = 0\Leftrightarrow 2x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 7 \right.$.

Vậy tập hợp $(T)$ là giao tuyến của mặt phẳng $x + z = 0$ và mặt trụ $2x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 7$. Do đó $M(x;y; - x)$ và thỏa mãn $2x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 7$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 2;0)$, $\overset{\rightarrow}{AC} = (4;0;4)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\rbrack = ( - 8; - 4;8)$, chọn $\overset{\rightarrow}{n^{\prime}} = (2;1; - 2)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;3; - 5)$ là: $2x + y - 2z - 13 = 0$.

Diện tích tam giác ABC: $\left. S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \middle| \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\rbrack \middle| = \dfrac{1}{2}\sqrt{{( - 8)}^{2} + {( - 4)}^{2} + 8^{2}} = 6 \right.$.

Thể tích khối tứ diện MABC: $\left. V = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.d(M,(ABC)) = \dfrac{1}{3}.6.\dfrac{\left| 2x + y - 2( - x) - 13 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = \dfrac{2}{3} \middle| 4x + y - 13 \right|$.

Xét biểu thức $P = 4x + y - 13 = 4x + (y + 2) - 15$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:

${(4x + y + 2)}^{2} = {(2\sqrt{2}.\sqrt{2}x + 1.(y + 2))}^{2} \leq ({(2\sqrt{2})}^{2} + 1^{2})(2x^{2} + {(y + 2)}^{2}) = 9.7 = 63$.

Suy ra $\left. - 3\sqrt{7} \leq 4x + y + 2 \leq 3\sqrt{7}\Leftrightarrow - 3\sqrt{7} - 15 \leq 4x + y - 13 \leq 3\sqrt{7} - 15 \right.$.

Do $3\sqrt{7} - 15 < 0$ nên $\left| 4x + y - 13 \middle| \leq \middle| - 3\sqrt{7} - 15 \middle| = 15 + 3\sqrt{7} \right.$.

Do đó, thể tích lớn nhất là $V_{\max} = \dfrac{2}{3}(15 + 3\sqrt{7}) = 10 + 2\sqrt{7} \approx 15,3$.

Đáp án cần điền là: 15,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.