a) Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (liên đoàn bóng đá thế giới) có dạng hình cầu với bán

Câu hỏi số 969878:

Vận dụng

a) Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (liên đoàn bóng đá thế giới) có dạng hình cầu với bán kính bằng 11 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy $\pi = 3,14$).

b) Mảnh đất của bác An có dạng hình vuông ABCD cạnh bằng 8 m. Trên mảnh đất đó, bác An làm không gian thư giãn bao gồm: hồ nước là hình quạt tròn MAK có tâm A bán kính AM; khu trồng hoa là các hình quạt tròn PBN, RCQ, HDS lần lượt có tâm là B, C, D và có cùng bán kính. Hai điểm M, N thuộc cạnh AB; hai điểm P, Q thuộc cạnh BC; hai điểm R, S thuộc cạnh CD; hai điểm H, K thuộc cạnh DA và MN = 2 m (như hình bên). Biết rằng, mỗi mét vuông làm hồ nước chi phí hết 300 nghìn đồng và mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 200 nghìn đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để bác An làm không gian thư giãn trên (đơn vị nghìn đồng và lấy $\pi = 3,14$).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:969878

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^{2}$.

b) Đặt ẩn x là bán kính hình quạt MAK. Biểu diễn bán kính các hình quạt trồng hoa theo x. Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí theo x và tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai bằng cách đưa về dạng bình phương cộng với một số.

Giải chi tiết

a) Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, diện tích bề mặt của quả bóng là:

$S = 4\pi R^{2} = 4 \times 3,14 \times 11^{2} = 1519,76$ (cm²)

b) Đặt $BN = x\left( {0 < x \leq 4} \right)$

Khi đó $AM = AB - MN - BN = 8 - 2 - x = 6 - x$

Diện tích hồ nước là $S_{1} = \dfrac{1}{4}\pi.AM^{2} = \dfrac{1}{4}\pi.\left( {6 - x} \right)^{2}\,\,\left( m^{2} \right)$

Diện tích phần trồng hoa là $S_{2} = 3.\dfrac{1}{4}\pi BN^{2} = \dfrac{3}{4}\pi x^{2}\,\,\left( m^{2} \right)$

Tổng chi phí để bác An xây dựng không gian thư giãn là

$T = 300.\dfrac{1}{4}\pi\left( {6 - x} \right)^{2} + 200.\dfrac{3}{4}\pi x^{2} = 75\pi\left( {6 - x} \right)^{2} + 150\pi x^{2} = 75\pi\left\lbrack {\left( {6 - x} \right)^{2} + 2x^{2}} \right\rbrack$

Xét

$\begin{array}{l} {P = \left( {6 - x} \right)^{2} + 2x^{2}} \\ {= x^{2} - 12x + 36 + 2x^{2}} \\ {= 3x^{2} - 12x + 36} \\ {= 3\left( {x^{2} - 4x + 4 + 8} \right)} \\ {= 3\left( {x - 2} \right)^{2} + 24} \end{array}$

Vì $3\left( {x - 2} \right)^{2} \geq 0,\,\,\forall x > 0$ nên $f(x) = 3\left( {x - 2} \right)^{2} + 24 \geq 24,\forall x > 0$

Do đó $T \geq 75\pi.24 = 5652$ (nghìn đồng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 2$ hay $BN = 2m$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link