Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên cung nhỏ BC
Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại K.
a) Chứng minh tứ giác OKMB nội tiếp và $\angle MBK = 2\angle MAC$.
b) Tiếp tuyến của $(O;R)$ tại $D$ cắt đường thẳng MB tại $N$. Biết diện tích tam giác CNK bằng $\dfrac{4R^{2}}{9}$. Tính giá trị biểu thức $T = MA^{2} + 3MB \cdot MN$ theo $R$.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất tổng hai góc đối của tứ giác bằng $180^{{^\circ}}$ để chứng minh tứ giác nội tiếp. Sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung để chứng minh hệ thức góc.
b) Đặt $\angle MAB = \beta$. Tính các đoạn thẳng CK, DN theo $R$ và $\tan\beta$. Lập phương trình diện tích tam giác CNK để tìm $\tan\beta$. Biểu diễn MA, MB, BN theo $R$ và thế vào biểu thức $T$.
a) Vì tam giác $AMB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ nên $\angle AMB = 90{^\circ}$ hay $\angle KMB = 90{^\circ}$
Do đó $K,M,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KB$
Vì $\angle KOB = 90{^\circ}$ nên $K,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KB$
Như vậy $O,K,M,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KB$ hay tứ giác $OKMB$ nội tiếp
Khi đó $\angle MBK = \angle MOK$
Mà $\angle MOK$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $MC$ của (O),
$\angle CAM$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $MC$ của (O)
Do đó $\angle MBK = \angle MOK = 2\angle CAM$ (đpcm)
b) Đặt $\alpha = \angle MAB$
Vì $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$ nên $0{^\circ} < \alpha < 45{^\circ}$
Trong tam giác $AOK$ vuông tại $O$ có $OK = OA\tan OAK = R\tan\alpha$
Từ đó ta được $CK = OC - OK = R - R\tan\alpha = R\left( {1 - \tan\alpha} \right)$
Kẻ $BH\bot DN\,\,\left( {H \in DN} \right)$. Khi đó $OBHD$ là hình vuông
Trong tam giác $BHN$ vuông tại $H$ có $HN = BH\tan HBN = R\tan\alpha$
Do đó $DN = DH + HN = R + R\tan\alpha = R\left( {1 + \tan\alpha} \right)$
Vì diện tích tam giác $CNK$ bằng $\dfrac{4R^{2}}{9}$ nên $\dfrac{1}{2}CK.DN = \dfrac{4R^{2}}{9}$
hay $\dfrac{1}{2}R\left( {1 + \tan\alpha} \right).R\left( {1 - \tan\alpha} \right) = \dfrac{4R^{2}}{9}$
Do đó $1 - \tan^{2}\alpha = \dfrac{8}{9}$ hay $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{1}{3}$
Kết hợp với $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ ta được $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{10},\,\,\cos^{2}\alpha = \dfrac{9}{10}$
Trong tam giác $AMB$ vuông tại $M$ có
$\left. MA = AB\cos\alpha\Rightarrow MA^{2} = 4R^{2}\cos^{2}\alpha = 4R^{2}.\dfrac{9}{10} = \dfrac{18R^{2}}{5} \right.$
$MB = AB\sin\alpha = 2R\sin\alpha$
Trong tam giác $BHN$ vuông tại $H$ có $BN = \dfrac{BH}{\cos HBN} = \dfrac{R}{\cos\alpha}$
Khi đó
$\begin{array}{l} {MB.MN = MB\left( {MB + BN} \right)} \\ {= 2R\sin\alpha\left( {2R\sin\alpha + \dfrac{R}{\cos\alpha}} \right)} \\ {= 4R^{2}\sin^{2}\alpha + 2R^{2}\tan\alpha} \\ {= 4R^{2}.\dfrac{1}{10} + 2R^{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{16R^{2}}{15}} \end{array}$
Như vậy $T = MA^{2} + 3MB.MN = \dfrac{18R^{2}}{5} + 3.\dfrac{16R^{2}}{15} = \dfrac{34R^{2}}{5}$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
