Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Dựng các đường kính AM và BN của đường tròn (O). Chứng minh rằng $\angle ABE = \angle NBC$ và $AH \cdot CM = BH \cdot CN$.
c) Các đường thẳng EF và AO cắt nhau tại G, các đường thẳng DF và BO cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $EG = DK$.
Quảng cáo
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
b) Sử dụng tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung, tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông và dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
c) Chứng minh các bán kính đi qua giao điểm tương ứng vuông góc với các dây cung (bằng cách kẻ tiếp tuyến phụ). Sau đó chứng minh hai cặp tam giác đồng dạng để rút ra các tỉ số bằng nhau.
a) Do BE, CF là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\angle BEC = \angle BFC = 90^{0}$
Khi đó $\Delta BEC$ vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Tương tự $\Delta BFC$ vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Xét $\Delta BCN$ nội tiếp (O) có BN là đường kính nên $\Delta BCN$ vuông tại $C$
nên $\angle NBC + \angle BNC = 90^{0}$
Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có: $\angle ABE + \angle BAE = 90^{0}$
Mà $\angle BAC = \angle BNC$ (cùng chắn cung BC của (O))
Suy ra $\angle ABE = \angle NBC$ (đpcm)
Xét $\Delta ACN$ nội tiếp (O) có AN là đường kính nên $\Delta ACN$ vuông tại $C$ hay $CM\bot AC$. Tương tự ta có $\Delta ABM$ vuông tại B nên $MB\bot AB$
Ta có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {CM\bot AC} \\ {BH\bot AC} \end{array} \right.\Rightarrow CM//BH \right.$
Lại có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {CH\bot AB} \\ {BM\bot AB} \end{array} \right.\Rightarrow CH//BM \right.$
Suy ra $BMCH$là hình bình hành hay $BH = CM$ (1)
Chứng minh tương tự ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {AH\bot BC} \\ {CN\bot BC} \end{array} \right.\Rightarrow AH//CN \right.$
Lại có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {CH\bot AB} \\ {AN\bot AB} \end{array} \right.\Rightarrow CH \parallel AN \right.$
Suy ra $AHCN$là hình bình hành hay $AH = CN$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AH.CM = BH.CN$
c) Ta có $\angle MAC + \angle AMC = 90^{0};\angle BAD + \angle ABD = 90^{0};\angle ABD = \angle AMC$ (cùng chắn cung AC của (O)). Suy ra $\angle MAC = \angle BAD$
Mà $\angle ABC = \angle AEG$ (do cùng cộng $\angle FEC$ bằng $180^{0}$)
nên $\angle AEG + \angle MAC = 90^{0}$ hay $\angle AGE = 90^{0}$
Tương tự $\angle NBC = \angle ABE$ và $\angle BKD = 90^{0}$
Ta có $EG = AE.\sin GAE = AB.\sin ABE.\sin GAE$
$DK = BD.\sin KBD = AB.\sin BAD.\sin KBD$
Từ đó suy ra $EG = DK$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
