Phương trình $x + \sqrt{x + \dfrac{1}{2}} + \sqrt{x + \dfrac{1}{4}} = m$ vô nghiệm khi

Câu hỏi số 970124:

Vận dụng

A. $m > 1$

B. $m \in \varnothing$

C. $m < \dfrac{1}{4}$

D. $0 < m < \dfrac{3}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970124

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x + 1/4}$ ($t \geq 0$), đưa phương trình về dạng $f(t) = m$.

Đánh giá tập giá trị của $f(t)$ để tìm điều kiện vô nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định là $x + \dfrac{1}{4} \geq 0,$ hay $x \geq - \dfrac{1}{4}$

Đặt $t = \sqrt{x + \dfrac{1}{4}},$ với $t \geq 0$. Khi đó $x = t^{2} - \dfrac{1}{4}$

Ta có $x + \dfrac{1}{2} + \sqrt{x + \dfrac{1}{4}} = t^{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + t = t^{2} + t + \dfrac{1}{4} = {(t + \dfrac{1}{2})}^{2}.$

Suy ra $\sqrt{x + \dfrac{1}{2} + \sqrt{x + \dfrac{1}{4}}} = t + \dfrac{1}{2}.$

Do đó $x + \sqrt{x + \dfrac{1}{2} + \sqrt{x + \dfrac{1}{4}}} = t^{2} - \dfrac{1}{4} + t + \dfrac{1}{2} = {(t + \dfrac{1}{2})}^{2}.$ Vì $t \geq 0$ nên ${(t + \dfrac{1}{2})}^{2} \geq \dfrac{1}{4}.$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $m < \dfrac{1}{4}.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.