Một vòng xuyến giao thông dạng hình tròn có bán kính 10 m. Người ta trang trí bên trong vòng xuyến

Câu hỏi số 970192:

Vận dụng

Một vòng xuyến giao thông dạng hình tròn có bán kính 10 m. Người ta trang trí bên trong vòng xuyến năm hình tròn nhỏ bằng nhau, tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt trong vòng xuyến để trồng hoa; phần còn lại lát gạch (phần tô đậm) như hình vẽ bên. Diện tích phần lát gạch trong vòng xuyến là bao nhiêu mét vuông (lấy $\pi \approx 3,14$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970192

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của đa giác đều nội tiếp để tìm bán kính các hình tròn nhỏ. Diện tích phần lát gạch bằng diện tích hình tròn lớn trừ đi tổng diện tích năm hình tròn nhỏ.

Giải chi tiết

Gọi $R = 10m$ là bán kính hình tròn lớn (tâm $O$), $r$ là bán kính của 5 hình tròn nhỏ.

Tâm của 5 hình tròn nhỏ tạo thành một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$.

Góc ở tâm chắn một cạnh của ngũ giác đều là $\dfrac{360^{{^\circ}}}{5} = 72^{{^\circ}}$.

Xét tam giác tạo bởi tâm $O$ và tâm của hai hình tròn nhỏ kề nhau.

Khoảng cách từ $O$ đến mỗi tâm nhỏ là $R - r = 10 - r$.

Khoảng cách giữa hai tâm nhỏ kề nhau là 2r.

Kẻ đường cao từ $O$ xuống cạnh đáy 2r ta có nửa góc ở tâm là $36^{{^\circ}}$.

Theo hệ thức lượng:

$\sin(36^{{^\circ}}) = \dfrac{r}{10 - r}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow r = (10 - r)\sin(36^{{^\circ}}) \right. \\ \left. \Rightarrow r + r\sin(36^{{^\circ}}) = 10\sin(36^{{^\circ}}) \right. \end{array}$

$\left. \Rightarrow r = \dfrac{10\sin(36^{{^\circ}})}{1 + \sin(36^{{^\circ}})} \approx 3,7019(m) \right.$.

Diện tích vòng xuyến là $S_{lon} = \pi R^{2} \approx 3,14.10^{2} = 314(m^{2})$.

Diện tích 5 hình tròn nhỏ là $S_{nho} = 5.\pi r^{2} \approx 5.3,14.{(3,7019)}^{2} \approx 215,15(m^{2})$.

Diện tích phần lát gạch là $S = S_{lon} - S_{nho} \approx 314 - 215,15 = 98,85(m^{2})$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được $99m^{2}$.

Đáp án cần điền là: 99

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link