Cho một bảng ô vuông $2 \times 2$. Chọn ngẫu nhiên 4 số nguyên dương phân

Câu hỏi số 970522:

Vận dụng cao

Cho một bảng ô vuông $2 \times 2$. Chọn ngẫu nhiên 4 số nguyên dương phân biệt từ tập 20 số nguyên dương $\left\{ 1;2;3;\ldots;20 \right\}$ và điền ngẫu nhiên mỗi số vào một ô của bảng. Xác suất để tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều chia hết cho 30 bằng

A. $\dfrac{1}{1938}$.

B. $\dfrac{11}{4845}$.

C. $\dfrac{2}{969}$.

D. $\dfrac{2}{323}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970522

Phương pháp giải

- Phân tích số $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Để tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột chia hết cho 30, mỗi hàng và mỗi cột đó phải chứa các thừa số nguyên tố 2, 3 và 5.

- Sử dụng quy tắc đếm (chỉnh hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân) để xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố.

- Phân loại các số trong tập $S = \left\{ 1;2;\ldots;20 \right\}$ dựa trên tính chất chia hết cho 2, 3, 5.

Giải chi tiết

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 4 số phân biệt từ 20 số và xếp vào 4 ô vuông: $\left| \Omega \middle| = A_{20}^{4} = 116280 \right.$.

Để tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột chia hết cho 30, tích đó phải chia hết cho 2, 3 và 5.

Tập các số chia hết cho 5 trong 20 số nguyên dương đầu tiên là $S_{5} = \left\{ 5;10;15;20 \right\}$.

Vì bảng $2 \times 2$ có 2 hàng và 2 cột, để tích ở mọi hàng và cột chia hết cho 5, ta phải chọn ít nhất 2 số thuộc $S_{5}$ và xếp chúng ở hai ô nằm trên đường chéo của bảng. (Nếu chỉ có 1 số, hoặc 2 số nằm cùng hàng/cột thì sẽ có hàng/cột không chứa số nào chia hết cho 5).

Gọi A là tập 4 số được chọn. Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: A chứa đúng 2 số thuộc $S_{5}$.

Hai số này phải nằm ở hai ô trên đường chéo. Cặp số còn lại là hai số $x,y \notin S_{5}$.

Có 8 cách xếp 4 số vào bảng nếu biết trước 2 số nào nằm trên một đường chéo (chọn 1 trong 2 đường chéo cho 2 số thuộc $S_{5}$ có 2 cách, hoán vị 2 số đó có 2! = 2 cách, hoán vị x, y vào đường chéo còn lại có 2! = 2 cách).

+) Nếu 2 số thuộc $S_{5}$ là $\left\{ 10;20 \right\}$: Ta có đường chéo chứa 10 và 20.

Vì 10 và 20 đều chia hết cho 2, ta chỉ cần các số x, y chia hết cho 3 là đủ để mọi hàng/cột chia hết cho 30.

Suy ra $x,y \in \left\{ 3;6;9;12;18 \right\}$ (loại số 15 vì không thuộc $S_{5}$).

Số cách chọn $\left\{ x;y \right\}$ là $C_{5}^{2} = 10$. Số cách xếp là $10.8 = 80$ cách.

+) Nếu 2 số thuộc $S_{5}$ là một trong 5 cặp còn lại (đó là $\left\{ 10;15 \right\},\left\{ 20;15 \right\},\left\{ 5;15 \right\},\left\{ 5;10 \right\},\left\{ 5;20 \right\}$):

Do trong mỗi cặp này luôn có số 5 (không chia hết cho 2 và 3) hoặc số 15 (không chia hết cho 2), để tích các hàng/cột đều chia hết cho 30, hai số x, y bắt buộc phải vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3.

Suy ra x, y chia hết cho $\left. 6\Rightarrow x,y \in \left\{ 6;12;18 \right\} \right.$.

Số cách chọn $\left\{ x;y \right\}$ là $C_{3}^{2} = 3$.

Với mỗi cặp trong 5 cặp này, số cách xếp là $3.8 = 24$ cách.

Vậy tổng số cách ở TH1 là: $80 + 5.24 = 200$ cách.

Trường hợp 2: A chứa đúng 3 số thuộc $S_{5}$.

Bộ 3 số này bắt buộc phải là $\left\{ 10;15;20 \right\}$. (Vì nếu có số 5 thì nó sẽ tạo với số cùng hàng/cột một tích không chia hết cho 30, ví dụ $5 \times 10 = 50$, $5 \times 20 = 100$).

Để thỏa mãn, số 15 phải nằm ở ô chéo nhau với số $x \notin S_{5}$, còn 10 và 20 nằm ở đường chéo kia.

Do 10, 15, 20 đã cung cấp đủ nhân tử 2, số x chỉ cần chia hết cho $\left. 3\Rightarrow x \in \left\{ 3;6;9;12;18 \right\} \right.$.

Có 5 cách chọn x.

Với mỗi tập 4 số, số cách xếp vào bảng sao cho 15 và x nằm chéo nhau là 8 cách.

Tổng số cách ở TH2 là: $5 \times 8 = 40$ cách.

Trường hợp 3: A chứa cả 4 số thuộc $S_{5}$ là $\left\{ 5;10;15;20 \right\}$.

Khi xếp vào bảng, số 5 sẽ chung hàng với một số và chung cột với một số.

Tuy nhiên, tích của 5 với bất kỳ số nào trong các số 10, 15, 20 đều không chia hết cho 30.

Do đó, TH3 không có cách xếp nào thỏa mãn (0 cách).

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố là: $n(X) = 200 + 40 = 240$.

Xác suất cần tìm là: $P = \dfrac{240}{116280} = \dfrac{2}{969}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.