Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 2}{- 1}$

Câu hỏi số 970524:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2}:\dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 1}{2}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A(3;1;2)$, vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$. Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $(P_{2}):2x + y - 3z + 5 = 0$.

B. $(P_{4}):5x - 4y - z + 6 = 0$.

C. $(P_{3}):2x + 7y + z - 1 = 0$.

D. $(P_{1}):3x - 3y - 4z + 2 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970524

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ giao điểm $B$ của đường thẳng $\Delta$ và $d_{2}$ bằng cách tham số hóa tọa độ điểm $B$ theo đường thẳng $d_{2}$.

- Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \overset{\rightarrow}{AB}$.

- Sử dụng điều kiện $\left. \Delta\bot d_{1}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{1}} = 0 \right.$ để tìm tham số, từ đó suy ra $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}$.

- Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$ khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{P}} = 0$ và điểm $A \notin (P)$.

Giải chi tiết

- Đường thẳng $d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = (1;2; - 1)$.

- Đường thẳng $d_{2}$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1 + t} \\ {y = 1 - t} \\ {z = 1 + 2t} \end{array} \right.$.

- Gọi $B$ là giao điểm của $\Delta$ và $d_{2}$.

Vì $B \in d_{2}$ nên $B( - 1 + t;1 - t;1 + 2t)$.

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 1 + t - 3;1 - t - 1;1 + 2t - 2) = (t - 4; - t;2t - 1)$.

- Vì $\Delta\bot d_{1}$ nên $\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{1}} = 0$

$\left. \Leftrightarrow 1 \cdot (t - 4) + 2 \cdot ( - t) + ( - 1) \cdot (2t - 1) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow t - 4 - 2t - 2t + 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0\Leftrightarrow t = - 1. \right.$

- Với $t = - 1$, ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 5;1; - 3)$.

Chọn vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = ( - 5;1; - 3)$.

- Kiểm tra các đáp án:

+ Đáp án A.: Mặt phẳng $(P_{2})$ có $\overset{\rightarrow}{n_{2}} = (2;1; - 3)$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{2}} = ( - 5) \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ( - 3) \cdot ( - 3) = - 10 + 1 + 9 = 0$.

Thay tọa độ $A(3;1;2)$ vào phương trình $(P_{2})$: $2(3) + 1 - 3(2) + 5 = 6 \neq 0$. Vậy $\Delta \parallel (P_{2})$.

+ Đáp án B.: $\overset{\rightarrow}{n_{4}} = (5; - 4; - 1)$. $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{4}} = - 25 - 4 + 3 = - 26 \neq 0$.

+ Đáp án C.: $\overset{\rightarrow}{n_{3}} = (2;7;1)$. $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{3}} = - 10 + 7 - 3 = - 6 \neq 0$.

+ Đáp án D.: $\overset{\rightarrow}{n_{1}} = (3; - 3; - 4)$. $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{1}} = - 15 - 3 + 12 = - 6 \neq 0$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.