Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 8y - 12z - 44 = 0$ và điểm $M(2;0;4)$.

Câu hỏi số 970525:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 8y - 12z - 44 = 0$ và điểm $M(2;0;4)$. Khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến một điểm thuộc $(S)$ là

A. 4

B. $10 - 3\sqrt{2}$

C. 6

D. $10 - 6\sqrt{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970525

Phương pháp giải

- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ từ phương trình tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$. Khi đó tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$.

- Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến tâm $I$: $IM = \sqrt{{(x_{M} - x_{I})}^{2} + {(y_{M} - y_{I})}^{2} + {(z_{M} - z_{I})}^{2}}$.

- Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M$ đến một điểm thuộc mặt cầu $(S)$ được tính bằng công thức: $\left. d_{min} = \middle| IM - R \right|$.

Giải chi tiết

Phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 8y - 12z - 44 = 0$

$\left. \Rightarrow\text{Tâm~}I( - 2; - 4;6) \right.$

Bán kính của mặt cầu là: $R = \sqrt{{( - 2)}^{2} + {( - 4)}^{2} + 6^{2} - ( - 44)} = 10$

Với $M(2;0;4)$ và $I( - 2; - 4;6)$, ta có: $IM = \sqrt{{(2 - ( - 2))}^{2} + {(0 - ( - 4))}^{2} + {(4 - 6)}^{2}} = 6$

Khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến mặt cầu $(S)$ là: $d_{min} = IM - R = \left| {6 - 10} \right| = 4$

(Vì $IM < R$ nên điểm $M$ nằm bên trong mặt cầu).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.