Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất I và II, cùng sản xuất một loại linh kiện điện tử.

Câu hỏi số 970558:

Vận dụng

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất I và II, cùng sản xuất một loại linh kiện điện tử. Dây chuyền I sản xuất $60\%$ tổng sản lượng với tỉ lệ lỗi là $2\%$. Dây chuyền II sản xuất $40\%$ tổng sản lượng với tỉ lệ lỗi là $3\%$. Các linh kiện sau khi sản xuất được chuyển qua hệ thống máy quét quang học để kiểm tra:

Toàn bộ linh kiện của dây chuyền I được đưa qua máy quét A. Máy A phát hiện đúng $98\%$ các trường hợp có lỗi, nhưng có $0,5\%$ xác suất báo lỗi sai đối với linh kiện tốt.

Toàn bộ linh kiện của dây chuyền II được đưa qua máy quét B. Máy B phát hiện đúng $95\%$ các trường hợp có lỗi, nhưng cũng có $0,5\%$ xác suất báo lỗi sai đối với linh kiện tốt.

Một linh kiện được chọn ngẫu nhiên từ kho thành phẩm đã qua kiểm tra. Giả sử linh kiện đó bị hệ thống báo lỗi. Xác suất để linh kiện đó được sản xuất bởi dây chuyền I gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $0,48$.

B. $0,42$.

C. $0,6$.

D. $0,52$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970558

Phương pháp giải

Sử dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gọi các biến cố tương ứng với việc linh kiện thuộc dây chuyền I, dây chuyền II và biến cố linh kiện bị hệ thống báo lỗi.

Tính xác suất để linh kiện bị báo lỗi dựa trên từng dây chuyền, từ đó áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện theo yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

Gọi A là biến cố "Linh kiện được chọn sản xuất bởi dây chuyền I". Ta có $P(A) = 60\% = 0,6$.

Gọi $\overline{A}$ là biến cố "Linh kiện được chọn sản xuất bởi dây chuyền II". Ta có $P(\overline{A}) = 40\% = 0,4$.

Gọi B là biến cố "Linh kiện được chọn bị hệ thống báo lỗi".

Ta cần tính $\left. P(A \middle| B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \right.$.

Tính xác suất để một linh kiện của dây chuyền I bị máy quét A báo lỗi ($\left. P(B \middle| A) \right.$):

Trường hợp 1: Linh kiện thực sự bị lỗi (xác suất 2%) và máy báo đúng (xác suất 98%).

Trường hợp 2: Linh kiện tốt (xác suất $100\% - 2\% = 98\%$) và máy báo sai (xác suất $0,5\%$).

$\left. P(B \middle| A) = 0,02 \cdot 0,98 + 0,98 \cdot 0,005 = 0,0245 \right.$.

Xác suất để linh kiện chọn ra thuộc dây chuyền I và bị báo lỗi là:

$\left. P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \middle| A) = 0,6 \cdot 0,0245 = 0,0147 \right.$.

Tính xác suất để một linh kiện của dây chuyền II bị máy quét B báo lỗi ($\left. P(B \middle| \overline{A}) \right.$):

Trường hợp 1: Linh kiện thực sự bị lỗi (xác suất 3%) và máy báo đúng (xác suất 95%).

Trường hợp 2: Linh kiện tốt (xác suất $100\% - 3\% = 97\%$) và máy báo sai (xác suất $0,5\%$).

$\left. P(B \middle| \overline{A}) = 0,03 \cdot 0,95 + 0,97 \cdot 0,005 = 0,03335 \right.$.

Xác suất để linh kiện chọn ra thuộc dây chuyền II và bị báo lỗi là:

$\left. P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B \middle| \overline{A}) = 0,4 \cdot 0,03335 = 0,01334 \right.$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất linh kiện bị báo lỗi là:

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0,0147 + 0,01334 = 0,02804$.

Xác suất để linh kiện đó được sản xuất bởi dây chuyền I, biết rằng nó bị hệ thống báo lỗi là:

$\left. P(A \middle| B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,0147}{0,02804} \approx 0,52 \right.$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.