Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Qua

Câu hỏi số 970994:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Qua điểm D kẻ DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).

a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

c) Kẻ đường kính AI của đường tròn (O). Gọi J là trung điểm của DI. Chứng minh $JE = JF$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970994

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính là cạnh huyền

b) Chứng minh $\left. \Delta AEF \right.\sim\Delta ACB\left( {g.g} \right)$ từ đó suy ra tỉ số

c) Gọi K, L lần lượt là trung điểm của BE và CF

Chứng minh $\Delta JEB;\Delta JEC,\Delta JBC$ cân tại J từ đó suy ra $JE = JB = JC = JF$

Giải chi tiết

a) Theo giả thiết, ta có $DE\bot AB$ tại $\left. E\Rightarrow\widehat{AED} = 90^{{^\circ}} \right.$.

Khi đó $\Delta AED$ vuông tại E nên A, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính AD

Tương tự, $DF\bot AC$ tại $\left. F\Rightarrow\widehat{AFD} = 90^{{^\circ}} \right.$.

Khi đó $\Delta ADF$ vuông tại F nên A, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính AD

Suy ra bốn điểm A, E, D, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AD

b) Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ (do $AD\bot BC$), có đường cao DE ứng với cạnh huyền AB.

Ta có tứ giác AEDF nội tiếp nên $\angle AEF = \angle ADF$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

Mà $\angle ADF = \angle ACD$ (do cùng cộng với $\angle CDF$ bằng $90^{0}$)

Suy ra $\angle AEF = \angle ACD$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$ có $\angle AEF = \angle ACD$ và $\angle BAC$ chung

Suy ra $\left. \Delta AEF \right.\sim\Delta ACB\left( {g.g} \right)$

Khi đó $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$ hay $AE.AB = AF.AC$

c) Xét đường tròn (O), có AI là đường kính

$\left. \Rightarrow\widehat{ABI} = 90^{{^\circ}} \right.$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $IB\bot AB$.

Mà $DE\bot AB$ (giả thiết).

$\left. \Rightarrow DE \parallel IB \right.$. Do đó, tứ giác BIDE là hình thang

Gọi K là trung điểm của BE.

Mà J là trung điểm của DI (giả thiết) JK là đường trung bình của hình thang EDIB

$\left. \Rightarrow JK \parallel DE \right.$. Lại có $\left. DE\bot AB\Rightarrow JK\bot AB \right.$ (tại $K$).

Xét $\Delta JBE$ có JK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\left. \Rightarrow\Delta JBE \right.$ cân tại $\left. J\Rightarrow JE = JB \right.$ (*)

Hoàn toàn tương tự, $\widehat{ACI} = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\left. \Rightarrow IC\bot AC \right.$.

Mà $\left. DF\bot AC\Rightarrow DF \parallel IC\Rightarrow \right.$ Tứ giác CFDI là hình thang.

Gọi L là trung điểm của CF suy ra JL là đường trung bình của hình thang$CDIF$.

$\left. \Rightarrow JL \parallel DF\Rightarrow JL\bot AC \right.$

Xét $\Delta JFC$ có JL vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao

$\left. \Rightarrow\Delta JFC \right.$ cân tại $\left. J\Rightarrow JF = JC \right.$ (**)

Xét $\Delta ADI$, có O là trung điểm của AI và J là trung điểm của DI

$\left. \Rightarrow OJ \right.$ là đường trung bình của $\left. \Delta ADI\Rightarrow OJ \parallel AD \right.$.

Mà $AD\bot BC$ (do AD là đường cao) $\left. \Rightarrow OJ\bot BC \right.$ tại P.

Ta có $\Delta OBC$ cân tại O có OP là đường cao nên đồng thời là trung trực của BC

Mà J nằm trên đường thẳng OP nên J cách đều B, C hay $JB = JC$ (***)

Từ (*), (**) và (***), ta có JE = JB = JC = JF.

Vậy JE = JF (Điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link