Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy điểm C (C khác A và B), từ C kẻ CH vuông

Câu hỏi số 971122:

Vận dụng

Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy điểm C (C khác A và B), từ C kẻ CH vuông góc với AB ($H \in AB$). Gọi D là điểm bất kì trên đoạn CH (D khác C và H), đường thẳng AD cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm thứ hai E.

a) Chứng minh bốn điểm B, H, D, E nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác ABE và tính theo R giá trị của biểu thức AD.AE + BH.BA.

c) Khi điểm C di động trên nửa đường tròn đã cho, C khác A và $\angle AOC < 90^{{^\circ}}$, tính giá trị nhỏ nhất của $T = \dfrac{1}{CH + R} + \dfrac{1}{HB}$ theo $R$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:971122

Phương pháp giải

a) Dùng dấu hiệu tổng 2 góc đối bằng $180^{{^\circ}}$ hoặc 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh.

b) Chứng minh theo trường hợp góc - góc (g-g) hoặc cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

c) Xác định yếu tố cố định/di động, dùng hệ thức lượng hoặc BĐT (AM-GM) để đánh giá GTLN/GTNN.

Giải chi tiết

a) Vì $\Delta AEB$ nội tiếp $(O)$ nên $\angle AEB = 90^{{^\circ}}$ hay $\angle DEB = 90^{{^\circ}}$

Do đó D, E, B cùng thuộc đường tròn đường kính DB (1)

Vì tam giác DHB vuông tại H $\left( {CH\bot AB} \right)$ nên D, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính DB (2)

Từ (1), (2) ta được D, E, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính DB

b) Xét $\Delta ADH$ và $\Delta ABE$ có:

$\angle DAH$ chung

$\angle AHD = \angle AEB = 90^{{^\circ}}$

Do đó $\left. \Delta ADH \right.\sim\Delta ABE(g.g)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AH}{AE} \right.$

$\left. \Rightarrow AD \cdot AE = AH \cdot AB \right.$

Suy ra $AD \cdot AE + BH \cdot AB = AH \cdot AB + BH \cdot AB = AB(AH + BH) = AB \cdot AB = AB^{2} = 4R^{2}$

Vậy $\left. \Delta ADH \right.\sim\Delta ABE$ và $AD \cdot AE + BH \cdot BA = 4R^{2}$

c) Ta có: ${(a - b)}^{2} \geq 0\quad\forall a,b > 0$

$\left. \Rightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0\quad\forall a,b > 0 \right.$

$\left. \Rightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab\quad\forall a,b > 0 \right.$

$\left. \Rightarrow{(a + b)}^{2} \geq 4ab\quad\forall a,b > 0 \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}\quad\forall a,b > 0 \right.$

Ta có: $T = \dfrac{1}{CH + R} + \dfrac{1}{HB} = \dfrac{1}{CH + R} + \dfrac{1}{OH + R} \geq \dfrac{4}{CH + OH + 2R}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta được:

$CH + OH \leq \sqrt{2(OH^{2} + CH^{2})} = \sqrt{2OC^{2}} = R\sqrt{2}$

Do đó $T \geq \dfrac{4}{R\sqrt{2} + 2R}$

Dấu "=" xảy ra $\left. \Leftrightarrow CH = OH\Leftrightarrow\Delta OHC \right.$ vuông cân tại $\left. H\Leftrightarrow\angle AOC = 45^{{^\circ}} \right.$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link