Cho tam giác ABC nhọn ($AB < AC$), nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao BE; CF cắt nhau
Cho tam giác ABC nhọn ($AB < AC$), nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao BE; CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b) Gọi AM là đường kính của đường tròn (O), N là giao điểm của BC và AM, P là giao điểm của AH và FE. Giả sử HM cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng $\angle BAH = \angle MAC$ và $NP\bot AG$.
Quảng cáo
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Chứng minh các tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh tương ứng và kết hợp định lí Thales đảo
a)
Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên ta có:
$\angle BEC = 90^{0}$ nên tam giác BEC vuông tại E.
Suy ra $B,E,C$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\angle BFC = 90^{0}$ nên tam giác BFC vuông tại F.
Suy ra $B,F,C$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.
Suy ra $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.
b)
+) Chứng minh $\angle BAH = \angle MAC$:
Gọi AD là đường cao của tam giác ABC, $D \in BC$
Xét $\Delta BDA$ và $\Delta MCA$ ta có:
$\angle BDA = \angle MCA = 90^{0}$
$\angle DBA = \angle AMC$ (cùng chắn cung $AC$)
Vậy $\Delta BDA \sim \Delta MCA$ (g.g.)
Suy ra $\angle BAD = \angle MAC$ hay $\angle BAH = \angle MAC$ (đpcm)
+) Chứng minh $NP\bot AG$:
Ta có: $\angle AFE + \angle BFE = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù).
Mặt khác, $\angle BFE + \angle BCE = 180^{{^\circ}}$ (do tứ giác BFEC nội tiếp)
Do đó $\angle AFE = \angle BCE$ hay $\angle AFP = \angle ACN$.
Xét $\Delta FAP$ và $\Delta CAN$ có:
$\angle FAP = \angle NAC$
$\angle AFP = \angle ACN$
Do đó $\left. \Delta FAP \right.\sim\Delta CAN$ (g.g).
Suy ra $\dfrac{AP}{AN} = \dfrac{AF}{AC}$ (1).
Xét $\Delta FAH$ và $\Delta CAM$ có:
$\angle FAH = \angle CAM$
$\angle AFH = \angle ACM = 90^{{^\circ}}$ (do CF là đường cao và AM là đường kính)
Do đó $\left. \Delta FAH \right.\sim\Delta CAM$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AH}{AM}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được $\left. \dfrac{AP}{AN} = \dfrac{AH}{AM}\Rightarrow\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{AN}{AM} \right.$.
Xét $\Delta AMH$ có $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{AN}{AM}$ nên theo định lí Thales đảo, ta suy ra $NP \parallel MH$.
Mà $MH\bot AG$ (do $G$ thuộc đường tròn đường kính AM nên $\widehat{AGM} = 90^{{^\circ}}$).
Từ đó suy ra $NP\bot AG$ (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
