Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO \perp (ABCD)$, $SO = \sqrt{3}$ và

Câu hỏi số 972115:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết $SO \perp (ABCD)$, $SO = \sqrt{3}$ và đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ có bán kính bằng $1$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ là $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ (trong đó $m,n$ là hai số nguyên dương và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị $m-n$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972115

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số khoảng cách để chuyển khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$ về khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Dựng hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(SCD)$ và tính khoảng cách dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, đường tròn ngoại tiếp hình vuông có bán kính $R = 1$ nên $OB = OD = OC = OA = 1$.

Đường chéo hình vuông là $BD = 2R = 2$. Suy ra độ dài cạnh hình vuông là $CD = \dfrac{BD}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ta có $M$ là trung điểm của $SB$, đường thẳng $SB$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ tại $S$ nên:

$\dfrac{d(M, (SCD))}{d(B, (SCD))} = \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d(M, (SCD)) = \dfrac{1}{2}d(B, (SCD))$.

Lại có $O$ là trung điểm của $BD$, đường thẳng $BD$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ tại $D$ nên:

$\dfrac{d(B, (SCD))}{d(O, (SCD))} = \dfrac{BD}{OD} = 2 \Rightarrow d(B, (SCD)) = 2d(O, (SCD))$.

Từ hai điều trên suy ra $d(M, (SCD)) = d(O, (SCD))$.

Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Do $O$ là tâm hình vuông nên $OH \perp CD$.

Mặt khác, vì $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp CD$.

Từ đó suy ra $CD \perp (SOH)$.

Trong mặt phẳng $(SOH)$, kẻ $OK \perp SH$ tại $K$.

Vì $CD \perp (SOH)$ nên $CD \perp OK$.

Do $OK \perp SH$ và $OK \perp CD$ nên $OK \perp (SCD)$. Khi đó, $d(O, (SCD)) = OK$.

Ta có $OH$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $OH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$, có đường cao $OK$, ta có:

$\dfrac{1}{OK^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{(\sqrt{3})^2} + \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$

Suy ra $OK^2 = \dfrac{3}{7} \Rightarrow OK = \sqrt{\dfrac{3}{7}}$.

Vậy $d(M, (SCD)) = \sqrt{\dfrac{3}{7}}$.

Theo giả thiết bài toán, khoảng cách này bằng $\sqrt{\dfrac{m}{n}}$ với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản.

Đồng nhất hệ số, ta được $m = 3$ và $n = 7$ (thỏa mãn $m,n$ là số nguyên dương).

Vậy giá trị cần tìm là $m - n = 3 - 7 = -4$.

Đáp án cần điền là: -4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.