Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=10m,

Câu hỏi số 972114:

Vận dụng

Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=10m, AD=6m$. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (hình minh họa). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ bằng $3m$. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thỏa mãn $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{5}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972114

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ phù hợp với hình vẽ để tìm hàm số $y=f(x)$.

Sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng: Diện tích phần tô đậm bằng diện tích hình chữ nhật trừ đi diện tích hai phần màu trắng (không tô đậm) ở các góc.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với $A(0;0)$, tia $Ox$ trùng với tia $AB$, tia $Oy$ trùng với tia $AD$.

Khi đó các đỉnh của hình chữ nhật là $A(0;0)$, $B(10;0)$, $D(0;6)$, $C(10;6)$.

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c}$.

Khoảng cách từ $A(0;0)$ đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đều bằng $3$, đồng thời dựa vào hình vẽ ta thấy hai tiệm cận này cắt các cạnh $AB$ và $AD$ nên phương trình tiệm cận đứng là $x=3$ và tiệm cận ngang là $y=3$.

Suy ra hàm số có dạng $y = \dfrac{3x+b}{x-3}$ (chọn $c=1 \Rightarrow a=3, d=-3$).

Điểm $E$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4$. Do $E$ nằm trên trục $Ox$ nên $E(4;0)$.

Đồ thị $(C)$ đi qua $E(4;0)$ nên ta có: $0 = \dfrac{3 \cdot 4 + b}{4-3} \Rightarrow b = -12$.

Vậy phương trình đồ thị $(C)$ là $y = f(x) = \dfrac{3x-12}{x-3} = 3 - \dfrac{3}{x-3}$.

Dựa vào hình vẽ, phần không tô đậm (màu trắng) gồm hai phần:

Phần 1 (góc trên bên trái): giới hạn bởi trục $Oy$ ($x=0$), đường thẳng $CD$ ($y=6$) và đồ thị $(C)$.

Hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y=6$ là: $\dfrac{3x-12}{x-3} = 6 \Leftrightarrow 3x-12 = 6x-18 \Leftrightarrow x=2$.

Diện tích phần 1 là:

$S_1 = \int_{0}^{2} \left[ 6 - \left( 3 - \dfrac{3}{x-3} \right) \right] dx = \int_{0}^{2} \left( 3 + \dfrac{3}{x-3} \right) dx$

$S_1 = \left[ 3x + 3\ln|x-3| \right]_{0}^{2} = (6 + 3\ln 1) - (0 + 3\ln 3) = 6 - 3\ln 3$.

Phần 2 (góc dưới bên phải): giới hạn bởi trục $Ox$ ($y=0$), đường thẳng $BC$ ($x=10$) và đồ thị $(C)$.

Diện tích phần 2 là:

$S_2 = \int_{4}^{10} \left( 3 - \dfrac{3}{x-3} \right) dx = \left[ 3x - 3\ln|x-3| \right]_{4}^{10} = (30 - 3\ln 7) - (12 - 3\ln 1) = 18 - 3\ln 7$.

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S_{ABCD} = 10 \cdot 6 = 60$.

Diện tích phần nội dung quảng cáo (phần tô đậm) là:

$S = S_{ABCD} - (S_1 + S_2) = 60 - (6 - 3\ln 3 + 18 - 3\ln 7) = 36 + 3(\ln 3 + \ln 7) = 36 + 3\ln 21$.

Tính giá trị gần đúng: $S \approx 36 + 3 \cdot 3,0445 \approx 45,1335$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được $45,1$.

Đáp án cần điền là: 45,1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.