Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Trong một nhiệm vụ cứu hộ trên biển, một chiếc trực thăng đang bay lơ lửng để hạ

Trong một nhiệm vụ cứu hộ trên biển, một chiếc trực thăng đang bay lơ lửng để hạ cáng cứu thương xuống boong của một con tàu. Do tác động của gió và sóng biển, cả trực thăng và con tàu đều dao động nhẹ theo phương thẳng đứng.

Tại thời điểm $t$ (giây), chiều cao (so với mực nước biển trung bình) của cáng cứu thương và boong tàu được mô hình hóa lần lượt bởi các hàm số:

$f(t) = 25 - \dfrac{2}{5}\cos(\omega t) \text{ (m) và } h(t) = 10 - \dfrac{3}{10}\sin(\omega t) \text{ (m)}$

với $\omega = 0,5 \text{ rad/s}$.

Gọi $d(t)$ là khoảng cách theo phương thẳng đứng từ cáng cứu thương xuống boong tàu tại thời điểm $t$. Giả định cả hai dao động cùng nằm trên một trục thẳng đứng và cáng luôn ở phía trên boong tàu.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Tại thời điểm bắt đầu quan sát ($t = 0$), khoảng cách giữa cáng cứu thương và boong tàu là:

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:972118
Phương pháp giải

Bước 1: Đọc kỹ đề bài để xác định giá trị của biến số thời gian $t$. Thường cụm từ "thời điểm bắt đầu quan sát" hoặc "lúc ban đầu" đồng nghĩa với $t = 0$.

Bước 2: Thay trực tiếp giá trị $t = 0$ vào hàm khoảng cách $d(t)$ đã rút gọn ở Câu 1.

Bước 3: Thực hiện phép tính (lưu ý đơn vị radian trên máy tính cầm tay nếu bấm máy) và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết

Thay $t = 0$ vào hàm số $d(t)$:

$d(0) = 15 - 0,4\cos(0) + 0,3\sin(0) = 15 - 0,4(1) + 0 = 14,6 \text{ (m)}$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Biết rằng nếu khoảng cách $d(t)$ nhỏ hơn 14,6m, hệ thống an toàn trên trực thăng sẽ tự động phát cảnh báo nguy cơ va chạm. Căn cứ vào mô hình trên, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ và trạng thái tương ứng của hệ thống?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:972117
Phương pháp giải

Bước 1: Thiết lập hàm số khoảng cách.

Gọi $d(t)$ là khoảng cách giữa hai đối tượng.

Ta có $d(t) = |f(t) - h(t)|$. Nếu theo thực tế đối tượng $A$ luôn nằm trên đối tượng $B$ (như cáng cứu thương luôn ở trên boong tàu), ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: $d(t) = f(t) - h(t)$.

Rút gọn hàm số về dạng chuẩn: $d(t) = C + a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)$.

Bước 2: Đánh giá biên độ dao động của phần lượng giác.

Xét biểu thức phụ $A = a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)$.

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác bậc nhất (hoặc BĐT Bunhiacopxki), ta luôn có đánh giá: $-\sqrt{a^2 + b^2} \le A \le \sqrt{a^2 + b^2}$

Bước 3: Tìm cực trị và kết luận.

Khoảng cách nhỏ nhất: $d_{min} = C - \sqrt{a^2 + b^2}$.

Khoảng cách lớn nhất: $d_{max} = C + \sqrt{a^2 + b^2}$.

So sánh kết quả vừa tìm được với ngưỡng an toàn (nếu đề bài yêu cầu) để đưa ra kết luận trạng thái của hệ thống

Giải chi tiết

Khoảng cách $d(t)$ giữa cáng và boong tàu là:

$d(t) = f(t) - h(t) = \left(25 - 0,4\cos(0,5t)\right) - \left(10 - 0,3\sin(0,5t)\right)$ 

$\Rightarrow d(t) = 15 - 0,4\cos(0,5t) + 0,3\sin(0,5t)$

Xét biểu thức $A = -0,4\cos(0,5t) + 0,3\sin(0,5t)$.

$-\sqrt{(-0,4)^2 + 0,3^2} \le A \le \sqrt{(-0,4)^2 + 0,3^2} \Leftrightarrow -0,5 \le A \le 0,5$ 

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ là: $d_{min} = 15 - 0,5 = 14,5 \text{ (m)}$.

Vì $14,5 \text{ m} < 14,6 \text{ m}$ nên hệ thống an toàn sẽ phát cảnh báo.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Gọi $v(t) = d'(t)$ là tốc độ thay đổi khoảng cách giữa cáng và boong tàu. Để đảm bảo cáng hạ xuống nhịp nhàng, người chỉ huy cần xác định thời điểm $t_0$ khi $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất lần đầu tiên. Giá trị của $t_0$ bằng (đơn vị: giây, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:972119
Giải chi tiết

Vận tốc thay đổi khoảng cách $v(t)$ là đạo hàm bậc nhất của $d(t)$:

$v(t) = d'(t) = -0,4 \cdot (-0,5)\sin(0,5t) + 0,3 \cdot (0,5)\cos(0,5t)$

$v(t) = 0,2\sin(0,5t) + 0,15\cos(0,5t)$

Tương tự câu 1, giá trị lớn nhất của $v(t)$ là: $v_{max} = \sqrt{0,2^2 + 0,15^2} = 0,25$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{cases} \sin(0,5t) = \dfrac{0,2}{0,25} = \dfrac{4}{5} \\ \cos(0,5t) = \dfrac{0,15}{0,25} = \dfrac{3}{5} \end{cases} \Rightarrow \tan(0,5t) = \dfrac{\frac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

Vì cần tìm thời điểm $t_0 > 0$ đầu tiên nên góc $0,5t_0$ nằm trong góc phần tư thứ nhất:

$0,5t_0 = \arctan\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 0,927$

$\Rightarrow t_0 \approx 0,927 . 2 = 1,854 \text{ (s)}$.

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $t_0 \approx 1,85$ giây.

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn