Biết a và b là các số thực thay đổi sao cho phương trình $x^{2} - 2ax + 2a^{2} + b^{2} - 5 = 0$ (x là

Câu hỏi số 972198:

Vận dụng

Biết a và b là các số thực thay đổi sao cho phương trình $x^{2} - 2ax + 2a^{2} + b^{2} - 5 = 0$ (x là ẩn) có nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a + 1)(b + 1)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972198

Phương pháp giải

- Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta' \geq 0$, từ đó rút ra điều kiện liên hệ giữa a và b.

- Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ và ${(a + b)}^{2} \leq 2(a^{2} + b^{2})$ để đánh giá biểu thức $P = ab + a + b + 1$ dựa trên điều kiện vừa tìm được.

Giải chi tiết

Ta có $x^{2} - 2ax + 2a^{2} + b^{2} - 5 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$.

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta' = {( - a)}^{2} - 1 \cdot (2a^{2} + b^{2} - 5) \geq 0$

$a^{2} - 2a^{2} - b^{2} + 5 \geq 0$

$5 - a^{2} - b^{2} \geq 0$

$a^{2} + b^{2} \leq 5$

Tìm giá trị nhỏ nhất của P:

Ta có biểu thức: $P = (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1$

$2P = 2ab + 2a + 2b + 2$

$2P = (a^{2} + 2ab + b^{2}) + 2(a + b) + 1 - a^{2} - b^{2} + 1$

$2P = {(a + b)}^{2} + 2(a + b) + 1 - (a^{2} + b^{2}) + 1$

$2P = {(a + b + 1)}^{2} - (a^{2} + b^{2}) + 1$

Vì bình phương của một số luôn không âm nên ${(a + b + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi a, b.

Từ $a^{2} + b^{2} \leq 5$ suy ra $- (a^{2} + b^{2}) \geq - 5$.

Do đó ta có: $2P \geq 0 - 5 + 1 = - 4$

Suy ra $P \geq - 2$.

Dấu “=” xảy ra khi ${(a + b + 1)}^{2} = 0$ và $a^{2} + b^{2} = 5$

Hay $a + b = - 1$ và $a^{2} + b^{2} = 5$

Bình phương phương trình đầu ta có ${(a + b)}^{2} = 1$ hay $a^{2} + 2ab + b^{2} = 1$

Thay $a^{2} + b^{2} = 5$ vào $a^{2} + 2ab + b^{2} = 1$, ta được $5 + 2ab = 1$, suy ra $ab = - 2$

Có $\left\{ \begin{array}{l} {a + b = - 1} \\ {ab = - 2} \end{array} \right.$

Theo định lý Vi-ét đảo, $a$ và $b$ là hai nghiệm của phương trình: $X^{2} + X - 2 = 0$

Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm là 1 và -2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, đạt được khi $a = 1,b = - 2$ hoặc $a = - 2,b = 1$.

Tìm giá trị lớn nhất của P:

$P = ab + a + b + 1$

Có ${(a - b)}^{2} \geq 0$ đúng với mọi a, b

$a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$ hay $2ab \leq a^{2} + b^{2}$

Cộng thêm $a^{2} + b^{2}$ vào cả hai vế của bất đẳng thức trên, ta có:

$a^{2} + 2ab + b^{2} \leq 2(a^{2} + b^{2})$

${(a + b)}^{2} \leq 2(a^{2} + b^{2})$

Ta có $a^{2} + b^{2} \leq 5$

+) $2ab \leq a^{2} + b^{2} \leq 5$ suy ra $ab \leq \dfrac{5}{2}$

+) ${(a + b)}^{2} \leq 2 \cdot 5 = 10$ suy ra $a + b \leq \sqrt{10}$

Từ đó ta có: $P = ab + (a + b) + 1 \leq \dfrac{5}{2} + \sqrt{10} + 1 = \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $ab = \dfrac{5}{2}$; $a + b = \sqrt{10}$ hay $a = b = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{2}$, đạt được khi $a = b = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link