1. Giả sử một đống cát có dạng hình nón với bán kính đáy bằng $4\text{~m}$ và chiều cao

Câu hỏi số 972197:

Vận dụng

1. Giả sử một đống cát có dạng hình nón với bán kính đáy bằng $4\text{~m}$ và chiều cao bằng $1,5\text{~m}$.

a) Tính thể tích của đống cát trên.

b) Người ta dùng một chiếc xe cải tiến với thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước dài $1\text{~m}$, rộng $0,6\text{~m}$, cao $0,3\text{~m}$ để vận chuyển đống cát đến khu xây dựng. Mỗi chuyến xe người ta vận chuyển được một lượng cát có thể tích không vượt quá thể tích của thùng xe. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chuyến xe để vận chuyển hết đống cát trên đến khu xây dựng?

2. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm thay đổi trên cạnh BC (E khác B, C). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE và cắt tia CD tại F.

a) Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh $FI \cdot FE = FK \cdot FC$.

c) Gọi L là giao điểm của BI và AE. Chứng minh rằng khi E thay đổi trên cạnh BC thì số đo của góc LCI không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972197

Phương pháp giải

1a) Áp dụng công thức tính thể tích hình nón: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h$.

1b) Tính thể tích thùng xe hình hộp chữ nhật. Để tìm số chuyến xe ít nhất, ta lấy tổng thể tích đống cát chia cho thể tích tối đa mỗi chuyến xe chở được, sau đó làm tròn kết quả lên số nguyên lớn hơn gần nhất.

Giải chi tiết

1a) Thể tích của đống cát trên là: $V_{C} = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi.4^{2}.1,5 = 8\pi(m^{3})$

1b) Thể tích của thùng xe là: ${V_X} = 1.0,6.0,3 = 0,18{\mkern 1mu} ({m^3})$

Số chuyến xe cần chở là: $8\pi:0,18 \approx 139,6$(chuyến)

Vì số chuyến xe phải là một số nguyên và lượng cát còn dư ở chuyến thứ 139 vẫn cần thêm một chuyến nữa để chở hết, nên ta phải làm tròn lên số nguyên gần nhất là 140.

Vậy cần ít nhất 140 chuyến xe để vận chuyển hết tổng số cát đến khu xây dựng.

2. Hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm thay đổi trên cạnh BC (E khác B, C). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE và cắt tia CD tại F.

2a) Ta có $\angle EAF = 90^{0}$ (do $AE\bot AF$) nên $\Delta AEF$vuông tại A.

Suy ra A, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính $EF$

Lại có: $\angle FCE = 90^{0}$ ($ABCD$ là hình vuông) nên $\Delta FCE$ vuông tại C.

Suy ra C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính $EF$

Vậy A, E, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF hay tứ giác AECF nội tiếp.

2b) Ta có $\angle FAD + \angle DAE = \angle EAF = 90^{0}$

$\angle BAE + \angle DAE = \angle BAD = 90^{0}$

Suy ra $\angle FAD = \angle BAE$

Xét $\Delta FAD$ và $\Delta EAB$ có $\angle FAD = \angle BAE$

$\angle ADF = \angle ABE = 90^{0}$

$AD = AB$

Suy ra $\Delta FAD = \Delta EAB$ (g.c.g) nên $AF = AE$ (hai cạnh tương ứng)

Khi đó $\Delta AEF$ vuông cân tại A

Mà AI là đường trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay $AI\bot EF$

Xét $\Delta FIK$ và $\Delta FCE$ có $\angle CFE$ chung và $\angle FIK = \angle FCE\left( {= 90^{0}} \right)$

Suy ra $\left. \Delta FIK \right.\sim\Delta FCE\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{FI}{FC} = \dfrac{FK}{FE}$ hay $FI.FE = FK.FC$.

2c) Tam giác AEF vuông cân tại A có AI là đường trung tuyến nên AI cũng là đường phân giác

Do đó $\angle EAI = \dfrac{1}{2}\angle EAF = \dfrac{1}{2} \cdot 90^{{^\circ}} = 45^{{^\circ}}$

$\Delta AEF$ vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên $AI = \dfrac{1}{2}EF\quad(1)$

$\Delta FCE$ vuông tại C có CI là đường trung tuyến nên $CI = \dfrac{1}{2}EF\quad(2)$

Từ (1) và (2) ta được IA = IC hay I nằm trên đường trung trực của AC

Mà ABCD là hình vuông nên BD là trung trực của AC

Suy ra I, B, D, L thẳng hàng.

Xét $\Delta ALI$ và $\Delta CLI$ có:

$LA = LC$ (Do L thuộc trung trực AC)

AI = CI

LI chung

Suy ra $\Delta ALI = \Delta CLI$ (c.c.c)

Do đó $\angle LAI = \angle LCI$

Mà $\angle LAI = \angle EAI = 45^{0}$ nên $\angle LCI = 45^{0}$ không đổi khi E di chuyển trên BC.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link