5.1 Tính giá trị của biểu thức $C = 2.\sin 30^{{^\circ}}.\tan 45^{{^\circ}} - \cos 60^{{^\circ}}$.5.2 Một

Câu hỏi số 972203:

Vận dụng

5.1 Tính giá trị của biểu thức $C = 2.\sin 30^{{^\circ}}.\tan 45^{{^\circ}} - \cos 60^{{^\circ}}$.

5.2 Một con thuyền cách chân của ngọn hải đăng $100\text{~m}$ và nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Biết rằng tia sáng từ ngọn hải đăng hợp với phương thẳng đứng một góc bằng $70^{o}$ (tham khảo hình vẽ sau). Hỏi ngọn hải đăng cao bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

5.3 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

5.3.1 Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

5.3.2 Vẽ đường kính BD của đường tròn $(O)$. Qua điểm O, kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972203

Phương pháp giải

5.1: Thay các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt vào biểu thức để tính toán.

5.2: Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABC (vuông tại C) để tính độ dài cạnh BC.

5.3.1: Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng $180^{o}$ để kết luận tứ giác nội tiếp.

5.3.2: Chứng minh $OH \cdot OA = OI \cdot OE = R^{2}$, từ đó suy ra $\left. \Delta OID \right.\sim\Delta ODE$ (c.g.c) để dẫn tới $\angle ODE = 90^{o}$.

Giải chi tiết

5.1. Ta có:

$\begin{array}{l} {C = 2.\sin 30^{{^\circ}}.\tan 45^{{^\circ}} - \cos 60^{{^\circ}}} \\ {C = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 - \dfrac{1}{2}} \\ {C = \dfrac{1}{2}} \end{array}$

Vậy $C = \dfrac{1}{2}$

5.2. Xét tam giác ABC vuông tại C,

Áp dụng tỉ số lượng giác ta có $\tan\angle ABC = \dfrac{AC}{BC}$

$\tan 70^{o} = \dfrac{100}{BC}$

Suy ra $BC = \dfrac{100}{\tan 70^{o}} \approx 36\text{(m)}$

Vậy ngọn hải đăng cao khoảng 36 mét.

5.3.

5.3.1. Xét đường tròn (O), ta có AB là tiếp tuyến với đường tròn tại tiếp điểm B

Suy ra $AB\bot OB$ (tính chất tiếp tuyến). Do đó, $\angle ABO = 90^{{^\circ}}$.

Xét $\Delta ABO$ có $\angle ABO = 90^{{^\circ}}$, nên $\Delta ABO$ là tam giác vuông tại $B$.

Suy ra A, B, O cùng nằm trên đường tròn có đường kính AO. (1)

Chứng minh tương tự, ta có AC là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại tiếp điểm C (theo giả thiết). Suy ra $AC\bot OC$ nên $\Delta ACO$ là tam giác vuông tại $C$.

Suy ra A, C, O cùng nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền AO. (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO.

Ta có OB = OC = R và AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra OA là trung trực của BC hay $OA\bot BC$ tại H

Xét $\Delta BOH$ và $\Delta AOB$ có

$\angle BHO = \angle ABO = 90^{0}$

$\angle BOA$ chung

Suy ra $\left. \Delta BOH \right.\sim\Delta AOB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{OB}{OA} = \dfrac{OH}{OB}$ hay $OB^{2} = OA.OH$

Mà $OB = OD = R$ nên $OD^{2} = OH.OA$ (2)

Xét $\Delta OHE$ và $\Delta OIA$ có

$\angle OHE = \angle OIA = 90^{0}$

$\angle AOE$ chung

Suy ra $\left. \Delta OHE \right.\sim\Delta OIA\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{OH}{OI} = \dfrac{OE}{OA}$ hay $OH.OA = OI.OE$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $OD^{2} = OI.OE$ hay $\dfrac{OD}{OI} = \dfrac{OE}{OD}$

Kết hợp với $\angle DOE$ chung nên suy ra $\left. \Delta DOI \right.\sim\Delta EOD\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\angle DIO = \angle EDO = 90^{0}$ nên $OD\bot DE$ tại D thuộc (O)

Vậy DE là tiếp tuyến của (O).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link