Cho tập hợp các điểm $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}$ với $n \in N^{*}$ cùng nằm trên một

Câu hỏi số 973841:

Vận dụng

Cho tập hợp các điểm $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}$ với $n \in N^{*}$ cùng nằm trên một đường thẳng thỏa mãn biểu thức $A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = ... = A_{n - 1}A_{n}$ . Tiến hành chọn ra 3 điểm phân biệt từ tập các điểm trên sao cho có một điểm là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm còn lại.

➢ Với $n = 5$ , số cách chọn thỏa mãn là .

➢ Với $n = 2024$ , số cách chọn thỏa mãn là .

➢ Với $n = 2025$ , số cách chọn thỏa mãn là #1024144#.

Đáp án đúng là: 4; 1023132

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973841

Phương pháp giải

Gán tọa độ cho các điểm và đưa bài toán về dạng đại số.

Điều kiện 3 điểm phân biệt có một điểm là trung điểm hai điểm còn lại tương đương với tọa độ của hai điểm đầu mút phải cùng tính chẵn lẻ.

Đếm số cách chọn 2 điểm cùng tính chẵn lẻ để suy ra số cách chọn 3 điểm thỏa mãn yêu cầu.

Giải chi tiết

Vì các điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ nằm trên một đường thẳng và cách đều nhau nên ta có thể gán tọa độ cho các điểm này lần lượt là các số nguyên 1, 2, ..., n.

Giả sử 3 điểm được chọn có tọa độ là x, y, z với $1 \leq x < y < z \leq n$. Để một điểm là trung điểm của đoạn nối hai điểm kia thì ta phải có $x + z = 2y$.

Điều này tương đương với tổng $x + z$ phải là một số chẵn, hay nói cách khác x và z phải có cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ).

Mỗi cách chọn ra 2 điểm x, z cùng tính chẵn lẻ sẽ cho ta đúng 1 điểm $y = \dfrac{x + z}{2}$ nguyên và nằm giữa chúng (do đó điểm thứ ba $y$ chắc chắn thuộc tập hợp ban đầu).

Do đó, số cách chọn 3 điểm thỏa mãn yêu cầu chính là số cách chọn ra 2 số cùng tính chẵn lẻ từ tập $\left\{ 1,2,...,n \right\}$.

Ý 1: Với $n = 5$. Tập từ 1 đến 5 có 3 số lẻ và 2 số chẵn.

Số cách chọn là: $C_{3}^{2} + C_{2}^{2} = 3 + 1 = 4$.

Ý 2: Với $n = 2024$. Tập từ 1 đến 2024 có 1012 số lẻ và 1012 số chẵn.

Số cách chọn là: $C_{1012}^{2} + C_{1012}^{2} = 2 \cdot \dfrac{1012 \cdot 1011}{2} = 1012 \cdot 1011 = 1023132$.

Ý 3: Với $n = 2025$. Tập từ 1 đến 2025 có 1013 số lẻ và 1012 số chẵn.

Số cách chọn là: $C_{1013}^{2} + C_{1012}^{2} = \dfrac{1013 \cdot 1012}{2} + \dfrac{1012 \cdot 1011}{2} = 506 \cdot 1013 + 506 \cdot 1011 = 506 \cdot 2024 = 1024144$.

Đáp án:

Ý 1: 4

Ý 2: 1023132

Ý 3: 1024144

Đáp án cần điền là: 4; 1023132

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.