Một trạm kiểm soát không lưu sử dụng hệ thống ra-đa để theo dõi máy bay trong phạm vi bán

Câu hỏi số 974015:

Vận dụng

Một trạm kiểm soát không lưu sử dụng hệ thống ra-đa để theo dõi máy bay trong phạm vi bán kính 500 km. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị: km), ra-đa đặt tại O(0;0;0). Một máy bay đang bay tại vị trí A(0;0;300) và tiếp tục bay theo hướng của vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = (3;4;0)$. Giả sử máy bay bay thẳng và rời khỏi vùng theo dõi, khi đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí cuối cùng của máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974015

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt cầu giới hạn vùng theo dõi của ra-đa và phương trình tham số đường bay của máy bay. Tìm giao điểm của đường bay và mặt cầu để xác định vị trí cuối cùng, từ đó tính khoảng cách từ điểm xuất phát đến điểm giao.

Giải chi tiết

Vùng theo dõi của ra-đa là một khối cầu có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = 500$.

Phương trình mặt cầu ranh giới vùng theo dõi là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 500^{2} = 250000$.

Đường bay của máy bay là đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(0;0;300)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (3;4;0)$.

Phương trình tham số của đường bay $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3t} \\ {y = 4t} \\ {z = 300} \end{array} \right.$ (với $t > 0$ do máy bay tiếp tục bay từ $A$ theo hướng của $\overset{\rightarrow}{u}$).

Vị trí cuối cùng của máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa chính là giao điểm M của đường bay $\Delta$ và mặt cầu.

Thay phương trình tham số của $\Delta$ vào phương trình mặt cầu, ta được:

${(3t)}^{2} + {(4t)}^{2} + 300^{2} = 250000$

$\left. \Leftrightarrow 9t^{2} + 16t^{2} + 90000 = 250000 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 25t^{2} = 160000 \right.$

$\left. \Leftrightarrow t^{2} = 6400 \right.$

$\left. \Leftrightarrow t = 80 \right.$ (do $t > 0$).

Thay $t = 80$ vào phương trình tham số, tọa độ điểm $M\left( {240;320;300} \right)$

Khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ là:

$AM = \sqrt{{(240 - 0)}^{2} + {(320 - 0)}^{2} + {(300 - 300)}^{2}} = 400$

Vậy khoảng cách cần tìm là 400 km.

Đáp án cần điền là: 400

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.