Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy AB = 2 . Biết $AB'\bot BC'$ , thể tích của

Câu hỏi số 974014:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy AB = 2 . Biết $AB'\bot BC'$ , thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974014

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tìm chiều cao của lăng trụ, sau đó áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ $V = B.h$.

Giải chi tiết

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên nó là lăng trụ đứng và có đáy là tam giác đều.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A(0;0;0)$ và $B(2;0;0)$.

Gọi M là trung điểm của AB, khi đó $M(1;0;0)$.

Vì tam giác ABC đều cạnh bằng 2 nên đường cao $CM = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$.

Do đó tọa độ điểm $C$ là $C(1;\sqrt{3};0)$.

Gọi h là chiều cao của lăng trụ ($h > 0$). Tọa độ các điểm trên mặt đáy trên tương ứng là:

$A'(0;0;h)$

$B'(2;0;h)$

$C'(1;\sqrt{3};h)$

Ta có các vectơ:

$\overset{\rightarrow}{AB^{\prime}} = (2;0;h)$

$\overset{\rightarrow}{BC^{\prime}} = (1 - 2;\sqrt{3} - 0;h - 0) = ( - 1;\sqrt{3};h)$

Theo giả thiết, $\left. AB'\bot BC'\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AB^{\prime}} \cdot \overset{\rightarrow}{BC^{\prime}} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2 \cdot ( - 1) + 0 \cdot \sqrt{3} + h \cdot h = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 2 + h^{2} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow h^{2} = 2\Leftrightarrow h = \sqrt{2} \right.$ (do $h > 0$).

Diện tích đáy của lăng trụ là diện tích tam giác đều ABC:

$S_{ABC} = \dfrac{AB^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \dfrac{2^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC} \cdot h = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \approx 2,45$.

Đáp án cần điền là: 2,45

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.