Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi song song
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi song song với \(AD\) và \(BC\) cắt \(AB,AC,CD,BD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q\). Giả sử \(AM = x,(0 < x < a=1)\), tìm \(x\) sao cho diện tích thiết diện \(MNPQ\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Xác định thiết diện, áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của thiết diện.
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( P \right)//AD}\\{AD \subset \left( {ABD} \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ}\end{array} \Rightarrow MQ//AD} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( P \right)//AD}\\{AD \subset \left( {ACD} \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( {ACD} \right) = NP}\end{array}} \right. \Rightarrow NP//AD\)
Do đó: \(MQ//NP//AD\). Tương tự ta được: \(MN//PQ//BC\)
Suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AD\) và \(BC\) thì \(\alpha \) là hằng số và \(\alpha = \widehat {QMN}\).
Ta có:
\(\Delta BMQ\) đều nên \(MQ = BM = a - x\)
\(\Delta AMN\) đều nên \(MN = AM = x\)
Theo bất đẳng thức Cauchy
\(\begin{array}{l}a = \left( {a - x} \right) + x \ge 2\sqrt {\left( {a - x} \right)x} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} \ge x\left( {a - x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} \cdot {\rm{sin}}\alpha \ge {S_{MNPQ}}\end{array}\)
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{{a^2} \cdot {\rm{sin}}\alpha }}{4} \Leftrightarrow x = a - x \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2}\).
Với \(a=1\) ta có \(x=0,5\).
Đáp án cần điền là: 0,5
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
