Cho các tập hợp $P = \lbrack 2m - 1;2m + 5\rbrack$ và $Q = \lbrack m + 1;m + 7\rbrack$, với m là tham số.

Câu hỏi số 974342:

Vận dụng

Cho các tập hợp $P = \lbrack 2m - 1;2m + 5\rbrack$ và $Q = \lbrack m + 1;m + 7\rbrack$, với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để hợp của hai tập hợp P và Q là một đoạn có độ dài bằng 10 là

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974342

Phương pháp giải

Hợp của hai tập hợp là một đoạn khi và chỉ khi chúng có phần tử chung (giao nhau). Sử dụng điều kiện để hai đoạn giao nhau, sau đó lập phương trình tính độ dài của đoạn hợp để tìm m.

Giải chi tiết

Độ dài của tập hợp P là $(2m + 5) - (2m - 1) = 6$.

Độ dài của tập hợp Q là $(m + 7) - (m + 1) = 6$.

Để $P \cup Q$ là một đoạn, điều kiện cần và đủ là $P \cap Q \neq \varnothing$.

Điều kiện để $P \cap Q \neq \varnothing$ là: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {2m - 1 \leq m + 7} \\ {m + 1 \leq 2m + 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m \leq 8} \\ {m \geq - 4} \end{array} \right.\Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 8 \right.$

Khi đó, $P \cup Q = \lbrack\min(2m - 1,m + 1);\max(2m + 5,m + 7)\rbrack$.

Ta xét hai trường hợp để tìm độ dài của đoạn $P \cup Q$:

Trường hợp 1: $\left. 2m - 1 \leq m + 1\Leftrightarrow m \leq 2 \right.$. Kết hợp điều kiện có $- 4 \leq m \leq 2$.

Lúc này $\min(2m - 1,m + 1) = 2m - 1$ và $\max(2m + 5,m + 7) = m + 7$.

Đoạn $P \cup Q = \lbrack 2m - 1;m + 7\rbrack$. Độ dài đoạn này là $(m + 7) - (2m - 1) = - m + 8$.

Theo giả thiết, độ dài bằng 10 nên $\left. - m + 8 = 10\Leftrightarrow m = - 2 \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Trường hợp 2: $\left. 2m - 1 > m + 1\Leftrightarrow m > 2 \right.$. Kết hợp điều kiện có $2 < m \leq 8$.

Lúc này $\min(2m - 1,m + 1) = m + 1$ và $\max(2m + 5,m + 7) = 2m + 5$.

Đoạn $P \cup Q = \lbrack m + 1;2m + 5\rbrack$. Độ dài đoạn này là $(2m + 5) - (m + 1) = m + 4$.

Theo giả thiết, độ dài bằng 10 nên $\left. m + 4 = 10\Leftrightarrow m = 6 \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy các giá trị của tham số $m$ tìm được là $m = - 2$ và $m = 6$. Tổng của chúng là $- 2 + 6 = 4$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.