Số giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 2025 để phương trình $x - 3\sqrt{x - 3} = m - 1$ có

Câu hỏi số 974343:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 2025 để phương trình $x - 3\sqrt{x - 3} = m - 1$ có nghiệm là

A. 2025.

B. 2023.

C. 2024.

D. 2022.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974343

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x - 3}$ với $t \geq 0$, đưa phương trình về dạng $f(t) = m$. Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)$ để tìm điều kiện có nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \geq 3$.

Đặt $t = \sqrt{x - 3}$ ($t \geq 0$), ta suy ra $x = t^{2} + 3$.

Thay vào phương trình đã cho, ta được:

$\left. t^{2} + 3 - 3t = m - 1\Leftrightarrow t^{2} - 3t + 4 = m \right.$

Xét hàm số $f(t) = t^{2} - 3t + 4$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$.

Đạo hàm $f'(t) = 2t - 3$; $\left. f'(t) = 0\Leftrightarrow t = 1,5 \right.$ (thỏa mãn $t \geq 0$).

Ta có $f(0) = 4$; $f(1,5) = 1,5^{2} - 3(1,5) + 4 = 1,75$.

Do đó, tập giá trị của hàm số là $\lbrack 1,75; + \infty)$.

Để phương trình ban đầu có nghiệm, phương trình $f(t) = m$ phải có nghiệm $t \geq 0$, tức là đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $f(t)$.

Điều kiện là $m \geq 1,75$.

Vì $m$ là số nguyên và $m < 2025$, nên $m \in \left\{ 2;3;4;\ldots;2024 \right\}$.

Số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là $2024 - 2 + 1 = 2023$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.